粵語歌文化歷史研究者，喜歡鑽研文字與音樂的創作，也喜愛數學與棋藝等等。
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2009-05-26 07:45:55
122＋332＝1233
882＋332＝8833
其實，位數更多的同類例子有的是，比如筆者在十多年前便已算出下述的一批結果：
102＋1002＝10100
9902＋1002＝990100
5882＋23532＝5882353
94122＋23532＝94122353
258402＋437762＝2584043776
741602＋437762＝7416043776
1167882＋3211682＝116788321168
8832122＋3211682＝883212321168
這些數式，搜尋過程也不算太難。以下筆者說說所用的方法，當中只需一點二次代數方程及數論裡平方和問題的解法知識罷了。
上述數式，以代數方式表示，乃是： x2＋y2＝10n x＋y ， n≧2， 10n＞x, y …… (1)
經過整理，(1)式變成
由於其中的 (10n) 2－4(y2－y) 必須是平方數，命 k2＝(10n) 2－4(y2－y)， 整理後有
同理，(10n) 2＋1－k2 也必須是平方數，命 j2＝(10n) 2＋1－k2 ，至此，(1)式轉化為如何把形如 (10n) 2＋1 的數表為兩個自然數的平方和的問題。由於 (10n) 2＋12 恰好也是兩平方數之和，借用公式
(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd) 2＋(ad－bc) 2
我們可以很有把握的算出一些(1)的解。試以 n＝4 為實例。
此時， (104) 2＋1＝17×5882353， 其中易知 17＝12＋42
所以，我們有 17 2×5882353＝(12＋42)(12＋100002)
Þ5882353＝(40001÷17)2＋(9996÷17)2＝23532＋5882
由是可得 (104) 2＋1＝(42＋12) (5882＋23532)
＝(4×588＋2353) 2＋(4×2353－588) 2
＝47052＋88242
這裡，只能命 k＝8824 ，命 k＝4705 則不會有解。當 k＝8824，
便算得 y＝2353 ， x＝（10000 ± 8824）÷ 2 ＝ 588, 9412
當 n 是別的值的時候，算法跟上述的方法是完全相類的。
附 n＝5， (105) 2＋1＝101×3541×27961
n＝6， (106) 2＋1＝73×137×99990001
n＝7， (107) 2＋1＝29×101×281×121499449
n＝8， (108) 2＋1＝353×449×641×1409×69857
n＝9， (109) 2＋1＝101×9901×999999000001
n＝10， (1010) 2＋1＝73×137×1676321×5964848081
erauqscme2009-05-26 08:38:44
黃老師，這個平方再現數趣題是十分有趣。 可是，若那個上標字"2"(或其他非零個位正整數)也能一併納入數式，就更妙了。 例如：下式有沒有正整數解呢。 a^n + b^m = anbm 以上右式是的anbm並不代表這四數相乘的結果。 la和b可以代表任何正整數，而n和m則祇可以代表個位正整數。 隨意打一個不成等式的例子： 若a=13, b=100,n=5,m=3 那麼原式左邊就是13^5+100^3=1371293, 而右邊就是1351003了。 當然隨便舉個例子，不能輕易「撞中」這個何能不存在的美妙等式的。 九連環沉迷者兼數學學與教「發燒友」 erauqscme
