形如12^2＋33^2＝1233的再現數式

　　不少有關趣味數學的書都有記述如下的兩個再現數式：

                12²＋33²＝1233

                88²＋33²＝8833

 

其實，位數更多的同類例子有的是，比如筆者在十多年前便已算出下述的一批結果：

                10²＋100²＝10100

                990²＋100²＝990100

                588²＋2353²＝5882353

                9412²＋2353²＝94122353

                25840²＋43776²＝2584043776

                74160²＋43776²＝7416043776

                116788²＋321168²＝116788321168

                883212²＋321168²＝883212321168

 

這些數式，搜尋過程也不算太難。以下筆者說說所用的方法，當中只需一點二次代數方程及數論裡平方和問題的解法知識罷了。

 

　　上述數式，以代數方式表示，乃是：        x²＋y²＝10ⁿ x＋y ， n≧2， 10ⁿ＞x, y    …… (1)

 

經過整理，(1)式變成

 

　　

 

由於其中的  (10ⁿ) ²－4(y²－y)  必須是平方數，命  k²＝(10ⁿ) ²－4(y²－y)， 整理後有

 

　　

 

同理，(10ⁿ) ²＋1－k² 也必須是平方數，命  j²＝(10ⁿ) ²＋1－k² ，至此，(1)式轉化為如何把形如 (10ⁿ) ²＋1 的數表為兩個自然數的平方和的問題。由於 (10ⁿ) ²＋1²  恰好也是兩平方數之和，借用公式

 

                (a²＋b²)(c²＋d²)＝(ac＋bd) ²＋(ad－bc) ²

 

我們可以很有把握的算出一些(1)的解。試以 n＝4 為實例。

此時， (10⁴) ²＋1＝17×5882353， 其中易知 17＝1²＋4²

 

所以，我們有　17 ²×5882353＝(1²＋4²)(1²＋10000²)

                        Þ5882353＝(40001÷17)²＋(9996÷17)²＝2353²＋588²

 

由是可得 (10⁴) ²＋1＝(4²＋1²) (588²＋2353²)

                                ＝(4×588＋2353) ²＋(4×2353－588) ²

                                ＝4705²＋8824²

 

這裡，只能命 k＝8824 ，命 k＝4705 則不會有解。當 k＝8824，

便算得    y＝2353 ， x＝（10000 ± 8824）÷ 2 ＝ 588, 9412

 

當 n 是別的值的時候，算法跟上述的方法是完全相類的。

 

 

附    n＝5，    (10⁵) ²＋1＝101×3541×27961

        n＝6，    (10⁶) ²＋1＝73×137×99990001

        n＝7，    (10⁷) ²＋1＝29×101×281×121499449

        n＝8，    (10⁸) ²＋1＝353×449×641×1409×69857

        n＝9，    (10⁹) ²＋1＝101×9901×999999000001

        n＝10，  (10¹⁰) ²＋1＝73×137×1676321×5964848081