形如1^2＋37^2＋1^2＝1371的再現數式

　　像下列的再現數式子：

                1²＋37²＋1²＝1371

                999²＋37²＋1²＝999371

 

筆者最初是在一冊日本趣味趣學書《數理puzzles》裡見到的。它跟拙文「形如12^2＋33^2＝1233的再現數式」裡所討論的再現數式

                12²＋33²＝1233

                88²＋33²＝8833

有點相近。事實上其尋找方法也是相似的。它可歸結為解二元二次不定方程：

                x²＋y²＝10ⁿ x＋10y ， n≧2， 10ⁿ≧x, 10y    …… (1)

 

這個(1)式可變形為

 

　　

 

 

命 k²＝(10ⁿ) ²－4(y²－10y)，整理後有　

 

　

 

 

再命  j²＝100＋(10ⁿ) ²－k² ，

 

所以方程(1)化為如何尋找兩個數滿足下式：j²＋k²＝(10ⁿ) ²＋10 ²

 

筆者算過，當 n＝2, 4, 6 的時候都沒有整數解，當 n＝3 時有唯一解，就是本文文首所列的一對數式。當 n＝5 時也有唯一解，因此得出以下一對數式：

                589²＋7657²＋1²＝58976571

                99411²＋7657²＋1²＝9941176571

 

當 n＝7 時也有唯一解，得出以下一對數式：

                13699²＋369873²＋1²＝136993698731

                9986301²＋369873²＋1²＝99863013698731

 

然而，這不等於說可以猜測當 n 是偶數時方程(1)沒有整數解，比如當 n＝8 時，它竟有六對整數解哩：

                y = 4086729            x = 167293, 99832707

                y = 1886121            x = 35587, 99964413

                y = 5862069            x = 344827, 99655173

                y = 8275872            x = 689656, 99310344

                y = 6094218            x = 372784, 99627216

                y = 8045181            x = 651493, 99348507