粵語歌文化歷史研究者，喜歡鑽研文字與音樂的創作，也喜愛數學與棋藝等等。
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2015-07-08 20:05:55
西洋音樂，音階常常從do唱起。但中國音樂的工尺譜，音階往往是從「合」（相當於西樂唱名的低音so）唱起，即合士乙上尺工……為何有這種習慣？筆者覺得，因素之一也許跟中國音樂常以「三分損益法」來生律有關。
「三分損益法」之原理如下：以某弦長（也可以是管長）奏得甲音，則某弦長的三分之二可奏得比甲音高純五度的音（三分損一）；某弦長的三分之四可奏得比甲音低純四度的音（三分益一）。
設某弦長能奏得「合」音，
該弦長的四分之三可奏得「上」（do音）（三分益一之逆運用），
該弦長的三分之二可奏得「尺」（re音），
這樣，五聲音階已得其三：徵、宮、商。
其中「宮」音是五聲音階之首。
接下來，用三分益一，可從「尺」求出「士」（低音la）之弦長：
一乘三分之二乘三分之四，得九分之八。
再作三分損一，可從「士」求出「工」（mi音）之弦長：
一乘九分之八乘三分之二，得二十七分之十六。
到此，五聲音階已全齊備。
實際上，這種設定下，
真要計算一下才得知弦長的只有「羽」、「角」兩個音。
相信網友也有興趣知道，那麼五聲音階以外的那兩個偏音：低音ti和fa音的弦長如何推算。
先說低音ti，以上述mi音的弦長作三分益一，
即一乘九分之八乘三分之二再乘以三分之四，
結果跟九分之八的平方相同，
即弦長是八十一分之六十四。
至於fa音，
可從do音的弦長來推算，但須逆向運用三分益一之法，
亦即須算出do音弦長的四分之三的長度，
顯見這弦長是四分之三的平方，
即弦長是十六分之九。
總結一下
低音so：弦之全長。1
do：四分三弦長。0.75
re：三分二弦長。0.6666......
低音la：九分之八弦長。0.8888......
mi：二十七分之十六弦長。0.592......
低音ti：八十一分之六十四弦長，即九分之八弦長的「平方」。0.79012......
fa：十六分之九弦長，即四分之三弦長的「平方」。0.5625
