九章算術盈不足章算題習記（上）

 

　　前一陣子抽了點時間去琢磨琢磨《九章算術》卷七盈不足章裡的幾條題目（第13、15、17、18、20題），並寫成學習筆記，現在貼在這裡，與有興趣中國古算的網友分享：

 

題十三　今有醇酒一斗（一斗有十升），直錢五十；行酒一斗，直錢一十。今將錢三十，得酒二斗。問醇、行酒各得幾何。

 

《九章算術》的解法：設醇酒佔５升，則行酒有15升，值錢25＋15＝40， 盈10。

                                        設醇酒佔２升，行酒有18升，值錢10＋18＝28， 不足2。

據公式３

                醇酒：（5×2＋2×10）÷（10＋2）＝2.5升

                行酒：（15×2＋18×10）÷（10＋2）＝17.5升

 

這個題目用現代的代數解法亦屬易事。設醇酒有a升，行酒有b升，便可建立出下面兩個聯立的二元一次方程

                                a＋b ＝ 20 ;

                                5a＋b ＝ 30

由此可立刻看出    a ＝ (10/4)升 ＝ 2.5升。於是 b ＝ (20 － 2.5)升 ＝ 17.5升。

 

 

題十五　今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩。今有石立方三寸，中有玉，並重十一斤。問玉、石重各幾何。

 

《九章算術》裡這題的解法看來比較奇特。原文謂：「術曰：假令皆玉，多十三兩。令之皆石，不足十四兩。不足為玉，多為石。各以一寸之重乘之，得玉石之積重。」

 

詳言之，首先假設整塊石俱是玉，其重量是27×7兩＝189兩，比11斤多13兩。再假設整塊都是石，其重量是27×6兩＝162兩，比11斤少14兩。少了的是玉的重量，多了的是石的重量，各以一（立方）寸乘之，得到玉石的體積和重量。

 

劉徽注《九章算術》，對此法有如下解說：「立方三寸是一面之方，計積二十七寸。玉方一寸重七兩，石方一寸重六兩。是為玉石重差一兩。假令皆玉，合有一百八十九兩，課於一十一斤，有餘一十三兩。玉重而石輕，故有此多。即二十七寸之中有十三寸，寸損一兩則以為石重。故言多為石，言多之數出於石以為玉。假令皆石，合有一百六十二兩。課於十一斤，少十四兩。故曰不足。此不足即以重為輕，故令減少數於石重。即二十七寸之中有十四寸，寸增一兩也。」

 

　　對劉徽的解釋要是還是不大明白的話，或者看看現代代數的方程解法，應會開始明白的。

　　設玉有ｘ立方寸，石有ｙ立方寸，按題意，得下述兩條聯立的二元一次方程：

                        方程一            ｘ＋ｙ＝27

                        方程二            7ｘ＋6ｙ＝176

 

「假令皆玉」，相當於把方程一全乘以７，「令之皆石」，相當於把方程一全乘以６。可以說，這乃是一種特殊方程組的特殊解法。它只適用於形如下述的二元一次聯立方程

                        方程一            ｘ＋ｙ＝ M

                        方程二            (s＋1)ｘ＋sｙ＝ N

 

既然由此方法迅速知道玉有14立方寸，石有13立方寸，

所以，玉重98兩，即6斤2兩；石種78兩，即4斤14兩。

 

 

題十七　今有善田一畝，價三百；惡田七畝，價五百。今並買一頃，價錢一萬。問善、惡田各幾何。

 

現代的代數解法，設所購善田有ｘ畝、惡田有ｙ畝，按題意，得下面兩個二元一次聯立方程：

                方程一　ｘ＋ｙ＝100畝

                方程二    300ｘ＋(500/7)ｙ＝10000

以300遍乘方程一減方程二，得{300－(500/7)}ｙ＝20000，故ｙ＝87.5畝，ｘ＝12.5畝。

 

《九章算術》裡的解法：

設善田有20畝，惡田相應有80畝，

                購田費用為    20×300＋80×(500/7)＝6000＋5714又2/7

                                                                        ＝11714又2/7，  盈1714又2/7

設善田有10畝，惡田相應有90畝，

                購田費用為    10×300＋90×(500/7)＝3000＋6428又4/7

                                                                        ＝9428又4/7，  不足571又3/7

 

將有關數據套入公式３，可算出善田有：

                        （20×571又3/7＋10×1714又2/7）÷（1714又2/7＋571又3/7）＝ 12.5畝

 

筆者認為《九章算術》裡的假設方案不佳，導致不少分數運算，這在古代應該是可免則免的吧。也就是說，惡田的數量，應選設成７的倍數，這樣算起來就方便得多了。比如：

設善田有30畝，惡田相應有70畝，

                購田費用為    30×300＋70×(500/7)＝9000＋5000＝14000 盈4000

設善田有9畝，惡田相應有91畝，

                購田費用為    9×300＋91×(500/7)＝2700＋6500＝9200 不足800

 

據公式３，善田有（30×800＋9×4000）÷（4000＋800）＝12.5畝

　　　　　惡田有（70×800＋91×4000）÷（4000＋800）＝87.5畝