九章算術盈不足章算題習記（下）

 

 

 

題十八　今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩。問金、銀一枚各重幾何。（按：一斤有十六兩，一兩有廿四銖）

 

　　先用現代的代數方法來解。設黃金一枚重Ｇ兩，白銀一枚重Ｐ兩，按題意，有二元一次聯立方程：

                        方程一　9G＝11P

                        方程二　8G＋P＋13＝10P＋G

　　以G＝(11/9)P代入方程二，可算得P＝29.25兩（一斤十三兩六銖）

                                                        從而算得G＝35.75兩（二斤三兩十八銖）

 

《九章算術》裡的解法如下：

設黃金一枚重３斤，即九枚重27斤；白銀一枚重(27/11)斤

                八枚黃金加一枚白銀重26又(5/11)斤

                一枚黃金加十枚白銀重27又(6/11)斤

此情況下，金輕(192/11)兩，較之題目所說的13兩多(49/11)兩。

 

若黃金一枚重２斤，可算得白銀一枚重(18/11)斤，

                八枚黃金加一枚白銀重17又(7/11)斤

                一枚黃金加十枚白銀重18又(4/11)斤

此情況下，金輕11又(7/11)兩，較之題目所說的13兩不足(15/11)兩。

 

出人意料的是《九章算術》直接拿當中的整數數據來代入公式３，省卻分數運算，亦準確算出一枚黃金的重量：（3×15＋2×49）÷（15＋49）＝2斤3兩18銖，甚堪玩味。

 

使用上面的數據，也可以套用公式３算出白銀十一枚的重量：

                                （27×15＋18×49）÷（15＋49）＝(1287/64)斤

                        所以一枚白銀重：(1287/64)斤 ÷ 11 ＝ 1又583/704斤 ＝ 1斤13兩6銖

 

 

 

 

題二○　今有人持錢之蜀賈，利十三。初返歸一萬四千，次返歸一萬三千，次返歸一萬二千，次返歸一萬一千，後返歸一萬。凡五返歸錢，本利俱盡。問本持錢及利各幾何。

 

　　這是《九章算術》盈不足章的最後一個題目。筆者感到用現代的代數解法，是簡單得多了。現且先用現代的代數解法來解。設ｘ是最初所持有的本金數目，ｙ（按題意，ｙ其實是已知數，０也）是五次還錢之後的金錢剩餘數目，據題意，建立出下面的一次函數：

                ｙ＝【〔（{1.3ｘ－14000}1.3－13000）1.3－12000〕1.3－11000】1.3－10000

                　＝（1.3）⁵ｘ－（1.3）⁴ ×14000－（1.3）³ ×13000－（1.3）² ×12000－（1.3）×11000－10000

                　＝3.71293ｘ－113126.4

 

按題意，ｙ恰好是0，所以，ｘ＝113126.4÷3.71293＝30468又84876/371293

故此，所付的利息總額是：

                （14000＋13000＋12000＋11000＋10000）－30468又84876/371293

                        ＝29531又286417/371293

 

《九章算術》解此題使用盈不足術方法。這裡簡略交代其計算過程：

設　本金ｘ有30000，即ｙ＝3.71293 × 30000－113126.4，ｙ＝－1738.5，屬不足。

再設本金ｘ有40000，即ｙ＝3.71293 × 40000－113126.4，ｙ＝35390.8，屬盈。

 

採用公式３，本金為（30000×35390.8＋40000×1738.5）÷（35390.8＋1738.5）

＝30468又84876/371293

至於利息總額，計算方法與上文說的並無差別。

 

筆者相信，在古代，這第二十題委實繁難，不但運算步驟多，又涉及分母很大的分數，在只有算籌作計算工具的年代，沒有超凡的耐心與毅力，是不大可能解出答案的。