移棋成間遊戲與八卦

　　 

 

　　記得在小學高年級就玩過一種移棋成間的遊戲，最簡單的一種是黑白棋子各三枚，左右分列，每次須移動兩顆緊靠的棋子，三移則須成黑白相間。

 

　　以圖表示就是：

 

初態：●●●○○○

一移：　　●○○○●●

二移：　　●○○　　●○●

三移：　　　　○●○●○●

 

　　這種遊戲，按理是黑白棋子各增一枚，則移動次數就增加一次。

 

　　曾看過一篇數學文獻，指出這遊戲跟易經八卦也有一點關連。就像上面黑白棋子各三枚的情況，若把黑棋子看作陰爻，白棋子看作陽爻，則初態就是「坤乾」，一移後變成「兌艮」，二移後變成「兌坎」，三移後變成「離坎」，再用上述的方法移下去，四移後變成「離震」，五移後變成「巽震」，六移後復原為「坤乾」。

 

　　八卦的圖像，都可以在這個移子相間的遊戲裡一一現身，真是意想不到。怪不得，清代經學大師俞曲圓也對這遊戲愛不釋手，在其《春在堂隨筆》中，更寫到他的妻子找出黑白各十一子以至到黑白各二十子的正確移法。俞氏的妻子，看來很有數學頭腦和研究精神呢！

 

　　近年，數學家已經搞清楚，這遊戲只要知道從黑白各三子到黑白各七子的移法就夠了，因為子數再多，都可以套用黑白各（ｎ－４）子的移法的。

 

　　舉一亦足以反三，試看黑白各四子與黑白各八子在移法上的關係：

 

黑白各四子的移法：

○○○○●●●●                初態

○　　○●●●●○○        一移

○●●○　　●●○○        二移

○●●○●○●　　○        三移

　　●○●○●○●○        四移

 

 

黑白各八子的移法：

○○○○○○○○●●●●●●●●                初態

○　　○○○○○●●●●●●●●○○        一移

○●●○○○○○●●●●　　●●○○        二移

○●●○○　　○●●●●○○●●○○        三移

○●●○○●●○　　●●○○●●○○        四移

○●●○○●●○●○●　　○●●○○        五移

○●●○　　●○●○●○●○●●○○        六移

○●●○●○●○●○●○●○●　　○        七移

　　●○●○●○●○●○●○●○●○        八移

 

　　於此可以看到，黑白各ｎ子的移法，最初兩步和最後兩步的移法，格式是固定的，而從第三步開始，則可套用（ｎ－４）的各步移棋法！

 

　　下面筆者用較簡潔的記法記述黑白各四子到各七子的移棋方法：

 

黑白各四子

○○○○●●●●

　一移　二移

 

○●●○　　●●○○

四移　　　　　三移

 

 

黑白各五子

○○○○○●●●●●

　一移　　　　二移

 

○●●○○●●　　●○○

五移　　三移　　　四移

 

 

黑白各六子

○○○○○○●●●●●●

　一移三移　　二移

 

○●●　　○●○○●●●○○

六移　　　　　　四移　五移

 

 

黑白各七子

○○○○○○○●●●●●●●

　一移　三移　　　　二移

 

○●●○　　○●●●○○●●○○

七移　　　　五移　四移　　六移

 

 

 

　　其實，我們還可以改變一下遊戲規則，例如，改為每次須移緊靠的三枚棋子又如何？當黑白各三子時，移法是：

○○○●●●                        初態

○　　　●●○○●            一移

○●○○●　　　●            二移

　　　○●○●○●            三移

 

當黑白各四子時，移法是：

○○○○●●●●                初態

○○　　　●●●○○●    一移

○○●●○●　　　○●    二移

○　　　○●○●●○●    三移

○●○●○●○●                四移

 

當黑白各……

 

 

 

　　筆者自己也曾試過，改為移緊靠四子又如何？這是我找到黑白各四子時的移法，但移的次數卻是五次：

○○○○●●●●                        初態

○○　　　　●●○○●●        一移

○○●○○●●　　　　●        二移

○　　　　●●○●○○●        三移

○●○●○●　　　　○●        四移

　　　　○●○●○●○●        五移

 

　　也許，這不是最好的移法吧。

 

 

　　關於移子成間遊戲，倪進、朱明貢著的《智力游戲中的數學方法》（江蘇教育出版社，數學方法論叢書，1989年7月初版）有詳細的探討研究，只是這書年代久遠，未必容易尋得了。