形如 43=4^2+3^3 的再現數式

　　

 

 

　　除了標題的那個數式：43=4²+3³，其他實例還有

 

                63=6²+3³

                2212=22²+12³

                7812=78²+12³

                496063=496²+063³

                504063=504²+063³

                13740228=1374²+0228³

                86260228=8626²+0228³

                690400863=6904²+00863³

                9390600863=93906²+00863³

                1000100=10²+00100³

                9999000100=99990²+00100³

                        ……

 

這種再現數式，以代數式來表示的話，可寫成：

 

                        10ⁿx+y = x²+y³

它可以變化為

                        (y－1)y(y＋1) = x(10ⁿ－x)

或　　　

　　

 

筆者就是利用這個代數式，以一般電腦都有的試算表找尋出上述的實例。不過，當 n = 6，7 的時候都找不到整數解，至於當n大於7，則尚未繼續探索。不過，也不難證明，當 n = 5k ，k是任意的一個正整數，上式都必有整數解。這是因為：

 

                (10^k)²+(10^2k)³=10^6k+10^2k

                                        =10^k．10^5k+10^2k