與差數有關的兩種平方再現數

摘要

 

本文將要介紹的是以下兩種數式：

 

其一　287²＝82 369，　369－82＝287；

其二　1216²－512²＝1216512

 

 

 

 

其一　平方分差再現數

 

　　在網上讀到一段來自台灣的消息，大意是：

 

　　台中市立惠文高中數理資優班的學生邱鈺茜，以「分和累乘再現數產生的方法及其性質探討的推廣」為題，在2005年第四屆「旺宏」科學獎中，擊敗全台各地明星高中，榮獲「金牌獎」，獎金四十萬元。

　　邱鈺茜表示，這篇論文的源起，始於數學界有個著名的「幽靈雷劈數」，據說印度一名數學家（筆者按：其名字是Kaprekar），某天發現火車站一個數字為3025的里程碑遭雷電劈成兩半，他忽地發現兩半的數字30加上25是55，而55的平方剛好是3025。而邱鈺茜所發現的是數學界尚未有人發現的數列，和「幽靈雷劈數」有異曲同工之妙，她將它命名為「雷霆數」，例如121是11的平方，而12減1剛好是11；6084是78的平方，而84減6剛好是78……

 

　　其實，要是直觀一點，邱鈺茜這種「雷霆數」，應命名為「平方分差再現數」吧。這種數過去確是沒有人提出過，邱氏是以逆向思維首先想到並提出的，讓人耳目一新。

 

　　沒有看過邱氏的論文，但筆者以自己的方法，也找到一些實例。這種數，應有兩種模式：

 

11²＝121，　12－1＝11；

101²＝10201，　102－01＝101；

1001²＝1002001，　1002－001＝1001；

……

之外，再無別的合條件的解。

 

　　同樣地，對（２）式也可作類似的整理，得

根據這個關係，一個較便捷的做法便是求出下列同餘式的基本解：

（３）　　c(c－1)≡0　(mod 10ⁿ＋1)

 

於是由這些基本解會得出若干組ｂ和ｃ的值，再將之代入（２）式，看看能否解出ａ的整數解來。下面是筆者使用這個方法找到的不少合條件的解：

078²＝6 084，　084－6＝078；

287²＝82 369，　369－82＝287；

364²＝132 496，　496－132＝364；

1096²＝120 1216，　1216－120＝1096；

18183²＝3306 21489，　21489－3306＝18183；

336634²＝113322 449956，　449956－113322＝336634；

2727274²＝743802 3471076，　3471076－743802＝2727274；

23529412²＝5536332 29065744，　29065744－5536332＝23529412；

333666334²＝111333222 444999556，　444999556－111333222＝333666334；

 

嗯，這裡出現了一個數列：364，336634，333666334，333366663334，…詳細寫來，就是：

 

364²=132 496,                496－132=364       

336634²=113322 449956,      449956－113322=336634             

333666334²=111333222 444999556,    444999556－111333222=333666334   

……

 

　　筆者不知道那位邱同學有沒有向高次的情況推進，事實上，這也將會是很有趣的事情。且以364這個數為例，除了有364²＝132 496，496－132＝364；其實還有：

        364³＝48 228 544，544－228＋48＝364；

        364⁴＝17 555 190 016，016－190＋555－17＝364；

        364⁵＝6 390 089 165 824，824－165＋089－390＋6＝364；

        364⁶＝2 325 992 456 359 936，936－359＋456－992＋325－2＝364；

364⁷＝846 661 254 115 016 704，704－016＋115－254＋661－846＝364；

 

到了八次方，才再現不了，九次及十次方的筆者也試過了，都再現不了，但說不定到了某個更高的方次，又能再現的。比方說，筆者另外找到一個具同樣性質的三位數715，它在二次方的時候不能再現，可是從三次方起是能再現的：

        715³＝365 525 875，875－525＋365＝715；

        715⁴＝261 351 000 625，625－000＋351－261＝715；

……

這樣一直到十次方都能再現，而在十一和十二次方時不能再現，但在十三次方的時候，卻又能再現了！

 

 

 

 

其二　二平方差再現數

 

 

　　從邱鈺茜的逆向思維案例，讓筆者也試著來一次逆向思維的嘗試，於是想到多年前見過的一種數式：

 

12²＋33²＝1233

88²＋33²＝8833

 

當時曾順著思路，找過一些同類型的實例，如

 

588²＋2353²＝5882353

25840²＋43776²＝2584043766

 

於是便試著逆向想想，式子裡的加號能否變為減號？研究後發覺是可以的。我們從下面的二次不定方程出發：

　　經過計算和檢驗，果然找到一批二平方差再現數的實例：

1140²－399²＝1140399

1216²－512²＝1216512

1416²－767²＝1416767

10234²－1547²＝102341547

10266²－1652²＝102661652

101010²－10100²＝10101010100

1018156²－137327²＝1018156137327

……

 

這看來應是一批從未「見過世面」的美麗數式吧！