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粵語歌文化歷史研究者,喜歡鑽研文字與音樂的創作,也喜愛數學與棋藝等等。

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2006-03-30 08:17:30

摘要

 

本文將要介紹的是以下兩種數式:

 

其一 287282 369, 36982287

其二 1216251221216512

 

 

 

 

其一 平方分差再現數

 

  在網上讀到一段來自台灣的消息,大意是:

 

  台中市立惠文高中數理資優班的學生邱鈺茜,以「分和累乘再現數產生的方法及其性質探討的推廣」為題,在2005年第四屆「旺宏」科學獎中,擊敗全台各地明星高中,榮獲「金牌獎」,獎金四十萬元。

  邱鈺茜表示,這篇論文的源起,始於數學界有個著名的「幽靈雷劈數」,據說印度一名數學家(筆者按:其名字是Kaprekar),某天發現火車站一個數字為3025的里程碑遭雷電劈成兩半,他忽地發現兩半的數字30加上2555,而55的平方剛好是3025。而邱鈺茜所發現的是數學界尚未有人發現的數列,和「幽靈雷劈數」有異曲同工之妙,她將它命名為「雷霆數」,例如12111的平方,而121剛好是11608478的平方,而846剛好是78……

 

  其實,要是直觀一點,邱鈺茜這種「雷霆數」,應命名為「平方分差再現數」吧。這種數過去確是沒有人提出過,邱氏是以逆向思維首先想到並提出的,讓人耳目一新。

 

  沒有看過邱氏的論文,但筆者以自己的方法,也找到一些實例。這種數,應有兩種模式:

 

112121, 12111

101210201, 10201101

100121002001, 10020011001

……

之外,再無別的合條件的解。

 

  同樣地,對(2)式也可作類似的整理,得

根據這個關係,一個較便捷的做法便是求出下列同餘式的基本解:

(3)  c(c1)0 (mod 10n1)

 

於是由這些基本解會得出若干組b和c的值,再將之代入(2)式,看看能否解出a的整數解來。下面是筆者使用這個方法找到的不少合條件的解:

07826 084, 0846078

287282 369, 36982287

3642132 496, 496132364

10962120 1216, 12161201096

1818323306 21489, 21489330618183

3366342113322 449956, 449956113322336634

27272742743802 3471076, 34710767438022727274

2352941225536332 29065744, 29065744553633223529412

3336663342111333222 444999556, 444999556111333222333666334

 

嗯,這裡出現了一個數列:364336634333666334333366663334,…詳細寫來,就是:

 

3642=132 496,                496132=364       

3366342=113322 449956,      449956113322=336634             

3336663342=111333222 444999556,    444999556111333222=333666334   

……

 

  筆者不知道那位邱同學有沒有向高次的情況推進,事實上,這也將會是很有趣的事情。且以364這個數為例,除了有3642132 496496132364;其實還有:

        364348 228 54454422848364

        364417 555 190 01601619055517364

        36456 390 089 165 8248241650893906364

        36462 325 992 456 359 9369363594569923252364

3647846 661 254 115 016 704704016115254661846364

 

到了八次方,才再現不了,九次及十次方的筆者也試過了,都再現不了,但說不定到了某個更高的方次,又能再現的。比方說,筆者另外找到一個具同樣性質的三位數715,它在二次方的時候不能再現,可是從三次方起是能再現的:

        7153365 525 875875525365715

        7154261 351 000 625625000351261715

……

這樣一直到十次方都能再現,而在十一和十二次方時不能再現,但在十三次方的時候,卻又能再現了!

 

 

 

 

其二 二平方差再現數

 

 

  從邱鈺茜的逆向思維案例,讓筆者也試著來一次逆向思維的嘗試,於是想到多年前見過的一種數式:

 

1223321233

8823328833

 

當時曾順著思路,找過一些同類型的實例,如

 

5882235325882353

2584024377622584043766

 

於是便試著逆向想想,式子裡的加號能否變為減號?研究後發覺是可以的。我們從下面的二次不定方程出發:

  經過計算和檢驗,果然找到一批二平方差再現數的實例:

1140239921140399

1216251221216512

1416276721416767

10234215472102341547

10266216522102661652

101010210100210101010100

1018156213732721018156137327

……

 

這看來應是一批從未「見過世面」的美麗數式吧!

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

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给主人留下些什么吧!~~

黃志華2010-01-08 07:19:13

昨日則把715的情況再算一次,算到我的計算軟件的位數極限,即算至715的24次方。發覺在16、17、20、22、24次方的時候都是可以完美再現的。  

黃志華2010-01-08 07:19:13

昨日則把715的情況再算一次,算到我的計算軟件的位數極限,即算至715的24次方。發覺在16、17、20、22、24次方的時候都是可以完美再現的。  

黃志華2010-01-08 07:19:13

昨日則把715的情況再算一次,算到我的計算軟件的位數極限,即算至715的24次方。發覺在16、17、20、22、24次方的時候都是可以完美再現的。  

黃志華2010-01-08 07:19:13

昨日則把715的情況再算一次,算到我的計算軟件的位數極限,即算至715的24次方。發覺在16、17、20、22、24次方的時候都是可以完美再現的。  

黃志華2010-01-08 07:19:13

昨日則把715的情況再算一次,算到我的計算軟件的位數極限,即算至715的24次方。發覺在16、17、20、22、24次方的時候都是可以完美再現的。