高次Kaprekar numbers的一些搜尋結果

這是我另一篇最近在某網站上貼的數學小品。

 

 

 

　　所謂廣義Kaprekar numbers是指具有下述性質的正整數：

45²＝2025，　20＋25＝45；

45³＝91125，　9＋11＋25＝45；

因此它又名「分和累乘再現數」。上例裡，45是同時是三次和四次的分和累乘再現數。要注意的是，分和時，所分割出的數的位數，除了最左端的一項，都須與原數的位數相同，而不許少於原數。例如：我們有

                243⁴＝3486784401，　　　　34＋86＋78＋44＋01＝243

粗看來和上面所展示的性質相同，然而243是三位數，這裡卻以兩位數的長度來分割243的四次方，這就不符本文的規定了。

 

 

　　一般而言，除了僅由1和0構成的平凡解，次數越高的分和累乘再現數越稀有，但我們也很難肯定地指出到了某個方次，分和累乘再現數便不再存在。

　　據個人以笨拙的計算工具尋找所得，五次的分和累乘再現數還是不少的，最小的一個是四位數7776：

7776⁵＝28430288029929701376，　2843＋0288＋0299＋2970＋1376＝7776

在五位數中則找到三個：27100，73440，95120。不過六位數裡的五次分和累乘再現數更多，有七個：

                500499⁵＝31406 249062 033782 183750 002499

                505791⁵＝33102 095432 189229 078077 109951

                540539⁵＝46146 117682 034200 315812 026699

                598697⁵＝76919 315312 001453 031756 173257

                665335⁵＝130377 260305 079059 111219 084375

                697598⁵＝165206 120951 064038 339435 007968

                732347⁵＝210661 190534 180357 124288 026507

　　個人也曾嘗試尋找六次分和累乘再現數的實例，但從一位數找至七位數，都找不到一個，要找到八位數，才終於找到一個：

64727568⁶＝7354205 10287688 10070052 11142669 22070330 03802624

　7354205＋10287688＋10070052＋11142669＋22070330＋03802624＝64727568

 

　　七次的分和累乘再現數個人也很僥倖的在六位數裡找到一個：

692900⁷＝76682 087899 306122 161297 060900 000000 000000

　　76682＋087899＋306122＋161297＋060900＋000000＋000000＝692900

 

　　至於八次及以上的分和累乘再現數，個人還未開始去搜索，但相信以自己現有的笨拙計算工具，成功率會很低，偶相信，這應由各方高人接棒去做了。