「化十為方」的解法

 

　　早前在這裡貼出的不要被問題嚇唬：如何化十為方？，在岡部恆治的著述裡，是有兩個提示的：提示一，大正方形的邊長變成多少呢？提示二，十字形的面積是5個單位，把它切割後重新排列，面積不會變，故此大正方形的面積也是5個單位，可見大正方形的邊長是√5，因此只要找出長度為√5的線段，這個問題就算是解決了一半。

 

　　據勾股定理，直角邊邊長分別為1個單位和2個單位的直角三角形，斜邊長必是√5，於是「化十為方」的問題的解決在於從十字形中找到長√5的線段，找到後再設法定出切割方案便成了。

 

　　到此，你有頭緒了嗎？

 

圖甲 

 

　　圖甲展示了兩個解決方案，看上去都是頗漂亮的，尤其是右邊那個，它只用切割兩次，把十字形分成四塊！左邊那個方案，應該是較容易發現，也較易理解的，因為√5這個邊長恰好出現在直角邊邊長分別為1個單位和2個單位的直角三角形處。

 

　　有些朋友也許會問：這兩個方案是怎樣想出來的？

 

　　如果不滿足於已知的解法，並探求更多的解法的可能性，我們將會更明白箇中的道理。現在，我們想像在圖甲右方那個邊長為√5的大正方形，四個角是扣連在 L₁、L₂、L₃、L₄ 這四條直線上的，只能順著這四條直線上下滑動。那麼，它每滑動一個小距離，都形成一種切割方案 ──比如下面的圖乙和圖丙，俱是可行的方案，圖乙把十字形切割成六塊，圖丙把十字形切割成七塊，而圖甲裡的兩個方案，是大正方形的底角（位於南方的角）恰好移到橫線 l₁、l₂ 上產生的。概括而言，大正方形在 L₁、L₂、L₃、L₄這四條直線上滑動於橫線 l₁、l₂ 之間，總能產生能虛實互補的圖形！而恰好移到橫線 l₁或 l₂ 上時產生的是「極值」。

 

　　圖甲裡的兩個解法都讓人驚奇，但看來玄妙，內裡的道理卻是平凡的。

 

 

圖乙

 

圖丙

 

 

 

　　餘緒：有些問題，解法是可以很多很多的。像這個「化十為方」的問題，亦屬這一類。上文說到要「想像邊長為√5的大正方形，四個角是扣連在 L₁、L₂、L₃、L₄ 四條直線上」，但是否一定要這樣呢？

 

　　看看下面的圖丁的兩個方案，我們竟又見到一類與上述不同的構思方案。而反應敏銳的網友當已推知，這一類型的方案，個數絕對是無窮的！

 

 

圖丁