不定方程x^3 + y^3 + z^3 = 1 的一些整數解

 

 

　　這些整數解的結果，其實是多年前因好奇及為了更好理解書上的解法而算出來的。對於不定方程x³+y³+z³=1（下稱「xyz3」），雖然是三次的，但只要運用一點技巧，就可以把它降為二次不定方程，然後用佩爾方程的解法解之，從而求出原來的「xyz3」的一些非平凡整數解。

 

　　比方說，設z = 1+t(x+y)，t為整數，以之代入「xyz3」式，可得

(x+y)[(x²-xy+y²)+3t+3t² (x+y)+t³ (x+y) ²]= 0

由於(x+y) =0時只能給出平凡解，故除去(x+y) = 0，上式變為

                (x²-xy+y²)+3t+3t² (x+y)+t³ (x+y) ²= 0

命(x+y) = u，(x-y) = v作代換，剛才的式子再變為：

                u² + 3v² +12t +12t²u +4t³u² = 0                                      (1)

        Þ    (1 + 4t³)u² + 3v² + 12t²u + 12t = 0                                  (2)

在(1)式裡，知t須能整除(u² + 3v²)，設t = ±(a²+3b²)，當a = b = 1，並取負號，有t = -4，這樣，(2)式化為

                85u² – v² - 64u + 16 = 0

它可以進一步轉化為佩爾方程：(85u - 32) ² - 85v² = -336，它有三組基本解：

                        (85u - 32, v) = (32, 4)

                                                (202, 22)

                                                (2858, 310)

所以這個佩爾方程的全部解可表為：

                (85u - 32) ± v√85  =  ±(32 ±4√85)( 285769± 30996√85) ⁿ

                                                =  ±(202 ±22√85)( 285769± 30996√85) ⁿ

                                                =  ±(2858 ±310√85)( 285769± 30996√85) ⁿ

由這些式子，可得到「xyz3」的幾組較小的整數解：

                        u              v              x              y              z

                        -2             -22           -12           10            9

                        34            310          172          -138         -135

                        198          1822        1010        -812         -791

                        -2790       -25726     -14258     11468      11161

                        -16400     -151204   -83802     67402      65601

 

筆者也算過當        t = -3，   有(107u - 54) ² - 321v² = -936

                                t = -7，   有(457u - 98) ² - 457v² = -3192

                                t = -12， 有(6911u - 864) ² - 20733v² = -248688

                                t = -13， 有(2929u - 388) ² - 2929v² = -38064

 

從這些方程裡可算出「xyz3」的數值較小的整數解共有十四組（按絕對值大小排序）

                x              y              z

                -6             -8             9

                9              10            -12

                64            94            -103

                -71           -138         144

                73            144          -150

                -135         -138         172

                -566         -823         904

                -791         -812         1010

                -1938       -2820       3097

                -2676       -3230       3753

                3753        4528        -5262

                4083        8343        -8657

                11161       11468      -14258

                65601      67402      -83802

 

值得注意的是，當t是3的倍數，所求得的整數解往往還能構成如下的關係：

                        9³ – 1³ = 6³ + 8³ = 12³ - 10³

                        144³ – 1³ = 71³ + 138³ = 150³ - 73³

                        3753³ – 1³ = 2676³ + 3230³ = 5262³ - 4528³

                                ……