等差數列與二次等冪和（面積法）

 

 

　　當研究等冪和所涉及的次數越來越高的時候，轉個身再來看低次數如二次的情況，便會覺得太平常。但其實，在這樣平常而習見的情況裡，往往可以「一題多做」，怕是想「多」又未必有「多」得來的智慧。

 

　　這篇小文想介紹一種用面積的原理來處理二次等冪和的問題，而這種方法恐怕在其他高次等冪和裡便行不通了。

 

　　原來，對於一個有8n項的等差級數，我們一定可以把這8n個數分成兩組，使兩組數是二次等冪和的關係。但怎樣證明呢？這亦等於問：如何具體地把這8n個數分成合符條件的兩組呢？

 

　　筆者這裡卻不想說8n項的情況，只想說說12n項的情況，因為12n項的情況稍複雜一點，明白了12n項的處理方法，8n項也就可以推而知之了。

 

　　對於12n項，最簡單的應是如何把 1 至 12 分成兩組，使兩組數成為二次等冪和的關係。

 

　　筆者先說出答案吧！

　　從下面的兩個積分等式：

 

 

及

 

 

我們可知有：

                1＋3＋7＋8＋9＋11＝2＋4＋5＋6＋10＋12

                1²＋3²＋7²＋8²＋9²＋11²＝2²＋4²＋5²＋6²＋10²＋12²

 

　　可是上面那兩個積分等式又如何得出來的呢？大家看看下面的圖像，應該會有所領悟吧。

 

 

 

　　但請注意，這圖裡所示的情況其實有別於上述兩個積分等式的，只是，它仍能很方便大家從中看出兩個積分等式是如何得出來的。