美麗的代數小定理

 

　　

 　　要是Ａ₁，Ａ₂，Ａ₃，Ａ₄，Ａ₅，Ａ₆六個數有如下幾種關係：

 

                Ａ₁＝Ａ₂＋Ａ₃ ，Ａ₄＝Ａ₅＋Ａ₆ ，

 

                Ａ₁ ²＋Ａ₂ ²＋Ａ₃ ² ＝Ａ₄ ²＋Ａ₅ ²＋Ａ₆ ²

 

則這六個數必定還滿足如下的關係：

                Ａ₁ ⁴＋Ａ₂ ⁴＋Ａ₃⁴ ＝Ａ₄ ⁴＋Ａ₅ ⁴＋Ａ₆ ⁴

 

　　這就是本文要介紹的美麗的代數小定理，它與五次六階等冪和數組息息相關。

 

　　現在先給出這定理的證明。

 

　　由於有Ａ₁＝Ａ₂＋Ａ₃ ，Ａ₄＝Ａ₅＋Ａ₆ ，所以，Ａ₁ ²＋Ａ₂ ²＋Ａ₃ ² ＝Ａ₄ ²＋Ａ₅ ²＋Ａ₆ ² 可以寫成

                （Ａ₂＋Ａ₃）²＋Ａ₂ ²＋Ａ₃ ² ＝（Ａ₅＋Ａ₆）²＋Ａ₅ ²＋Ａ₆ ²

也就是    Ａ₂Ａ₃ ＋Ａ₂ ²＋Ａ₃ ² ＝Ａ₅Ａ₆ ＋Ａ₅ ²＋Ａ₆ ²                                                      （＊）

 

我們還有        （Ａ₁ ²＋Ａ₂ ²＋Ａ₃ ²）²＝（Ａ₄ ²＋Ａ₅ ²＋Ａ₆ ²）²

展開後是        Ａ₁ ⁴＋Ａ₂ ⁴＋Ａ₃⁴ ＋2（Ａ₁ ²Ａ₂ ²＋Ａ₁ ²Ａ₃ ²＋Ａ₂ ²Ａ₃ ²）

＝Ａ₄ ⁴＋Ａ₅ ⁴＋Ａ₆ ⁴＋2（Ａ₄ ²Ａ₅ ²＋Ａ₄ ²Ａ₆ ²＋Ａ₅ ²Ａ₆ ²）     （＊＊）

 

其中        　Ａ₁ ²Ａ₂ ²＋Ａ₁ ²Ａ₃ ²＋Ａ₂ ²Ａ₃ ²

                ＝Ａ₁ ²（Ａ₂ ²＋Ａ₃ ²）＋Ａ₂ ²Ａ₃ ²

                ＝（Ａ₂＋Ａ₃）²（Ａ₂ ²＋Ａ₃ ²）＋Ａ₂ ²Ａ₃ ²

                ＝Ａ₂ ⁴＋Ａ₃⁴＋2Ａ₂ ²Ａ₃ ²＋2Ａ₂Ａ₃（Ａ₂ ²＋Ａ₃ ²）＋Ａ₂ ²Ａ₃ ²

                ＝Ａ₂ ⁴＋Ａ₃⁴＋Ａ₂ ²Ａ₃ ²＋2Ａ₂ ²Ａ₃ ²＋2Ａ₂Ａ₃（Ａ₂ ²＋Ａ₃ ²）

                ＝〔（Ａ₂ ²＋Ａ₃ ²）＋Ａ₂Ａ₃〕²

 

同理，可推得        Ａ₄ ²Ａ₅ ²＋Ａ₄ ²Ａ₆ ²＋Ａ₅ ²Ａ₆ ² ＝〔（Ａ₅ ²＋Ａ₆ ²）＋Ａ₅Ａ₆〕

 

由（＊）及（＊＊）兩個式子，可知必然有Ａ₁ ⁴＋Ａ₂ ⁴＋Ａ₃⁴ ＝Ａ₄ ⁴＋Ａ₅ ⁴＋Ａ₆ ⁴

小定理至此得證。

 

 

 

 

　　順帶一提，我們該如何去構造滿足這個小定理的正整數組。

　　首先，是把（Ａ₂＋Ａ₃）²＋Ａ₂ ²＋Ａ₃ ² ＝（Ａ₅＋Ａ₆）²＋Ａ₅ ²＋Ａ₆ ²作變換：

 

                X₁＝Ａ₂＋Ａ₃ ，  Y₁＝Ａ₂－Ａ₃；

                X₂＝Ａ₅＋Ａ₆ ，  Y₂＝Ａ₅－Ａ₆；

 

這樣我們可推導出如下的關係式：

                3X₁ ²＋X₂ ²＝3Y₁ ²＋Y₂ ²

 

之後，借助下面的恆等式

                （P²＋3Q²）（R²＋3S ²）＝（PR∓3QS）²＋3（QR±PS）²

就可以很容易的構造出有關的數組來。