粵語歌文化歷史研究者，喜歡鑽研文字與音樂的創作，也喜愛數學與棋藝等等。
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2006-03-07 22:38:05
這裡只是一次實際的觀察，其中關鍵的地方尚未能給出嚴整的數學證明的。
為了清楚起見，文中凡屬用置換記法記述的等冪和恆等式，都以綠色背景色強調之，若只是普通的等冪和數組記法，則無背景色。
我們從如下的五次六階等冪和數組出發：
(0, 5, 6, 16, 17, 22)5＝(1, 2, 10, 12, 20, 21)5
它是可以分割成四組二次三階等冪和數鏈的，即有：
(１) (0, 16, 17)2＝(22, 6, 5)2＝(1, 12, 20)2＝(21, 10, 2)2
奇妙的是，我們完全不用改變些甚麼，可以把(１)式直接視為用置換記法記錄的等冪和恆等式：
(２) [(0, 16, 17)2(22, 6, 5)2]5＝[(1, 12, 20)2(21, 10, 2)2]5
這(２)式表的是共有四組的五次六階等冪和數鏈恆等式！其顯式是
第一組 16B,
第二組
第三組 A+12B,
第四組 B+
試以Ａ＝２，Ｂ＝５代入這個恆等式，然後把所得的四組數的所有數都減以29，便得到下列的四組五次六階等冪和數鏈：
(0, 23, 25, 71, 73, 96)5＝(1, 16, 33, 63, 80, 95)5
＝(3, 11, 40, 56, 85, 93)5
＝(5, 8, 45, 51, 88, 91)5
這四組數的一次冪和都是288，
二次冪和都是20740，
三次冪和都是1659456，
四次冪和都是139415044，
五次冪和都是12047229888。
然後，我們又可以把上面的四組五次六階等冪和數鏈分割成八組二次三階等冪和數鏈，即有
(３) (0, 71, 73)2＝(96, 25, 23)2＝(1, 63, 80)2＝(95, 33, 16)2
＝(3, 56, 85)2＝(93, 40, 11)2＝(5, 51, 88)2＝(91, 45, 8)2
這八組數的一次冪和都是144，二次冪和都是10370。就像上面把(１)式直接視為用置換記法記錄的等冪和恆等式那樣，這裡我們也可以把(３)式直接切換為用置換記法記錄的等冪和恆等式，即我們有：
(４) [(0, 71, 73)2(96, 25, 23)2]5＝[(1, 63, 80)2(95, 33, 16)2]5
＝[(3, 56, 85)2(93, 40, 11)2]5＝[(5, 51, 88)2(91, 45, 8)2]5
這(４)式表的是共有八組的五次六階等冪和數鏈恆等式！其顯式是
第一組 71B,
第二組
第三組 A+63B,
第四組 B+
第五組
第六組 3B+
第七組
第八組 5B+
試以Ａ＝１，Ｂ＝６代入這個恆等式組，然後把所得的八組數都同時減以69，我們便可得出下列八組五次六階等冪和數鏈：
(0, 122, 145, 389, 412, 534)5＝(2, 104, 165, 369, 430, 532)5
＝(4, 94, 177, 357, 440, 530)5
＝(5, 90, 182, 352, 444, 529)5
＝(12, 70, 209, 325, 464, 522)5
＝(17, 60, 224, 310, 474, 517)5
＝(24, 49, 242, 292, 485, 510)5
＝(34, 37, 264, 270, 497, 500)5
這八組數的一次冪和都是1602，
二次冪和都是642130，
三次冪和都是285936174，
四次冪和都是133688598994，
五次冪和都是64291076739462。
如此類推地，只要有需要，我們還可以一直做下去，製造出16組、32組…等等的五次六階等冪和數鏈恆等式及具體的數組。
據筆者所知，這種自生性質，僅有五次六階的等冪和數組具有，其他次數的等冪和數組是沒有的。原因極可能與五次六階等冪和數組的內部結構有關，我們且看回最初始的那個五次六階等冪和數組：
(0, 5, 6, 16, 17, 22)5＝(1, 2, 10, 12, 20, 21)5
把兩組數作如下的排列及計算：
22－0＝22
17－5＝12
16－6＝10
21－1＝20
20－2＝18
12－10＝2
這樣新得的兩組數是(2, 18, 20)和(10, 12, 22)，由於可全部除以最大公約數２，約去後得(1, 9, 10)和(5, 6, 11)，可以驗證得到，這兩組數的二次冪和以及四次冪和都是相等的，而且它們內部還同樣地有第一個數加第二個數等於第三個數的特點！我們至少可以證明，正是這些特點使這種五次六階等冪和數組能分割成二次等冪和數鏈！
