回文積問題

　　

 

 

 

一　主菜

 

　　這裡所說的「回文積」是諸如123×321或278×872之類，而本文是排除諸如9600×0069這種形式的回文積的。為簡潔起見，下文將以「123的回文積」表示123×321，「278的回文積」表示278×872等等。

 

　　且說正題。

　　63504應是最小的自然數能表為兩種回文積，因為它既等於「144的回文積」，也等於「252的回文積」，不過252本身已是回文數，那麼若兩種回文積表示法都要求不可以有回文數的，則這樣的最小自然數會是101556，它分別等於156和273的回文積。

　　據我得出的生成數構作方法，可以證明存在無窮個自然數，它們都能表為2^k或3×2^(k-1)種回文積，這裡ｋ可以從１至任意大。

　　下面分別是三種、四種、六種、八種的具體例子：

　　70,687,000,944能表為三種回文積，分別是145584，158544，254772。

 

　　10,358,850,853,008能表為四種回文積，分別是1226448，2146284，2416824，2449224。

 

　　70,694,776,726,172,618,472,790,840,944能表為六種回文積，即可分別表為下列六個數的回文積：

　　　　145,585,455,985,584

　　　　145,598,558,545,584

　　　　158,545,585,598,544

　　　　158,559,854,558,544

　　　　254,774,547,974,772

　　　　254,797,477,454,772

 

　　5,751,525,049,365,043,745,750,626,273,944可分別表為下列八個數的回文積：

　　　　1,237,476,375,877,464

　　　　1,237,587,747,637,464

　　　　1,347,637,477,587,624

　　　　1,347,758,763,747,624

　　　　2,165,583,657,785,562

　　　　2,165,778,558,365,562

　　　　2,358,365,585,778,342

　　　　2,358,577,836,558,342

 

不過，我卻沒法嚴格證明這些數分別是能表為三種、四種、六種、八種回文積的最小自然數。特張貼出來請教大家。

 

 

 

 

 

二　甜品

　　這裡還想介紹一些美麗的回文等式，它們其實也是筆者使用類似的生成數方法構造出來的：

　　　1326×1428×484812 = 2613×2814×124848

我們把這個等式從右至左把次序倒過來寫，等式仍是成立的，即有：

　　　848421×4182×3162 = 218484×8241×6231


下面是另一個例子：

　　　1224×2346×2814×6834 = 1428×2412×3468×4623

它的逆序式子同樣成立：3264×8643×2142×8241 = 4386×4182×6432×4221


　　大家要是感興趣，也可以想想這種連乘回文等式是怎樣構造出來的？

 

 

 

 

　　此外，筆者在香港數學教育學會的刊物《數學教育》第七期裡曾詳細介紹過我的生成數構作法，有興趣的訪客可登入該會網頁找這篇文字看看。