華容道遊戲一橫佈局倒影反影無解的證明

 

　　這個證明寫得不大滿意，只覺理由不夠充分。現只是儘管寫下來，期待以後寫出更有力的證明。

 

　　關於華容道遊戲「倒影」、「反影」的具體玩法，可參考「華容道遊戲五直局兩將易位無解的證明」一文。為了要證明一橫類佈局裡的倒影和反影玩法同樣不會有解，我們須先證明下述的定理：

 

定理

設一橫類佈局的上區域是「自由空間四」，則我們不可能通過平移棋子，把自由空間四從上區遷移至下區域。反之，設若「自由空間四」正位於一橫類佈局的下區域，我們同樣不可能通過平移棋子，把它從下區域遷移至上區域。這裡上區域是指華容道棋盤三至五線之間的範圍，下區域指該棋盤一至三線間的範圍。

 

　　定理中有關「自由空間四」及下文提及的「自由空間二」和「自由空間三」概念的，請參考「華容道遊戲裡四種自由空間的公理」一文。

 

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　　基於對稱性，以下暫時只考慮「自由空間四」在上區域的情況，如圖一所示。定理所述，其實也相當於指出像圖一的局面，四枚位於一、二線的直將，不可能全部移到棋盤的四、五線上。證明了這一點，是相當於證明圖一裡處於上區域的「自由空間四」不可能整個遷移到下區域。

 

 

圖一

 

圖一裡四直將不可能全遷至四、五線的三點分析

 

其一　最多只能遷進三直將

　　圖二是很具體的遷移過程，其從左上局面移至右上局面的具體步法是（橫將為「關」，直將統稱「飛」，連移兩格不作說明，可移兩格卻僅移一格才作說明）：

關左　兵下折左　兵下　曹右　兵右折上　關上　二兵左　曹下　二兵右

關上　兵上折左　關左　飛上　三飛右　二兵下　曹左　飛上　飛右

兵下折右　曹下　關下　二兵左^＊　四飛上　二兵右　曹下　關下　兵下折左

二飛左　飛上

 

圖二

 

　　圖二右上方的局面，是當要把圖一的一、二線直將遷進四、五線時，能遷進最多（三枚）直將的示例，但再沒法遷進第四員直將，因為橫將在第三線成為障礙。注意：這裡有＊號的棋步所形成的（如圖二下方所示的）局面，是一橫局裡獨有的一個半自由的空間（棋子排列跟自由空間四有點近似，都是小兵分在兩端夾着橫將和曹操），而且也是唯一的一個，因為它使用了整個棋盤，是以棋子的排列亦僅有這種形式是較能自由移動和換位的。這個「半」是相對於一般自由空間內的棋子可任意換位而言，因為在這個「空間」內，各個棋子不是任何時候都可以任意換位的。

 

其二　為了闢設「自由空間二」或「自由空間三」，橫將關羽總須在五線上

　　如圖三，為了讓圖一的直將可向上遷移，在棋盤上闢設出「自由空間二」或「自由空間三」是必須的，從實際移棋的觀察可知，當闢設出這兩種「自由空間」，原位於上區域的唯一橫將就必須調往及停留在第五線上。這意味四枚直將總是被唯一的橫將阻礙着，不可能全部遷進四、五線。

 

圖三

 

　　圖四是一個簡明的局例，讓我們看到橫將是如何阻礙直將的上遷。

 

 

圖四

 

其具體移棋方法如下：

（按：這圖四左方的局面跟圖二右方的局面是相同的）兵上一格　兵右　飛下　兵上折左　飛下　飛右　兵上一格　飛上　兵左　二飛下　兵上折右　飛上　兵上　飛左　飛下　兵右折上　關右　兵下折右　兵下　二飛左　兵左折上　關上　二兵右　二飛下　二兵左　關上　兵上折左　飛上　飛右　二兵下　

飛左　飛上（如圖四右方的局面，四員直將只是全部移至第三、四線而已）

 

其三　橫將的障礙無法排除

　　以上兩點分析，一橫局裡的唯一橫將俱是障礙，以致位於第一、二線的四員直將無法遷至第四、五線。但我們能不能把這員橫將先調離上區域呢？

 

 

圖五

 

　　辦法是有的，可是只有一種途徑。參見圖五及下述的具體移棋方法：

關下　二兵右　曹上　二飛上　二兵左　二飛下　關下　兵下折右　曹右

飛上　飛左　兵上一格　兵右　飛下　關左　兵下折右　飛上　飛右　兵下

關右　飛上　兵左　兵下　關下（形成圖五右方的局面，明顯已無進路，沒可能抵達第一線，只可以原路退回去另作變化）

 

　　明顯，這唯一調開橫將的途徑，對四員直將向上遷移毫無幫助。

 

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　　通過這三點分析，要把圖一裡位於第一、二線的四員直將全部遷移到第四、五線，必須先通過使用「自由空間二」或「自由空間三」，才能使直將上移。但這兩個途徑都有同樣的弊端：局中的唯一橫將會橫亙在第五線。換句話說，向上運送直將，這兩個自由空間必然需要使用，但二者都沒可能讓四員直將全運送至第一、二線。

 

　　一橫局裡雖然還有一個，而且是唯一一個這類佈局獨有的「半自由空間」，空間面積滿佔整個華容道棋盤，但使用它最多能把三員直將送到第四、五線，餘下的一枚，卻不可能再送上去。

 

　　一橫局裡只有上述的三種自由空間或半自由空間能讓直將向上移，再沒有第四種。而現在已知它們都是不可能讓四員直將全數運送至第四、五線的。也就是說，圖一裡位於第一、二線的四員直將，是不可能全數遷移至第四、五線。這亦相當於說：圖一裡位於上區域的自由空間四，是沒可能整個遷移往下區域。於是，文首的定理得證。

 

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　　根據定理，我們可把一橫類佈局分成兩類（無活路的局面不予考慮），凡經過有限步的棋子移動，能轉化為自由空間四在上區域的局面，屬「上區族」；凡經有限步的棋子移動，能轉化為自由空間四在下區域的局面，屬「下區族」（華容道遊戲的一橫類佈局不會存在位於第二線到第四線的「自由空間四」，故此是不可能有「中區族」的）。易知屬上區族的佈局是不可能轉化成自由空間四在下區域的局面，不然的話，就意味它們的四員直將，既可全部齊集在第一、二線上，亦可全部齊集在第四、五線上，跟上面已經證明了的定理完全矛盾。反之，亦可知下區族的佈局是不可能轉化成自由空間四在上區域的局面。

 

　　為了簡便，當一橫類某甲局面能轉化成乙局面，稱甲局與乙局「連通」，而且甲與乙明顯是「同區」的。反之，若甲局面是不可能轉化成丙局面，則稱甲局與丙局「不連通」，甲與丙明顯是「異區」的。根據上述定理，兩個局面「同區」便可「連通」，兩個局面「異區」是絕對「不連通」的。

 

　　從以上定理，亦充分說明，任一則一橫類佈局，跟其倒影（或反影）局面是「不連通」的，因為佈局自身跟其倒影（或反影）是「異區」關係。至此，一橫類佈局裡的倒影和反影玩法俱不會有解，得到圓滿的證明。

 

　　系：任二華容道一橫類佈局，「連通」與否，可通過移動棋子來考察「自由空間四」出現的位置來審視二者是「同區」還是「異區」。換句話說，「自由空間四」的位置成為「判別式」，成為「連通」「不連通」的依據。

 

 

 

練習：判斷圖六裡的六個局面，哪些是屬「上區族」？哪些是屬「下區族」？

 

 

圖六