華容道遊戲五直局倒影、反影無解的證明

 

 

問題的提出

 

　　華容道遊戲的玩法很多，其中兩種是「倒影」和「反影」。這兩種玩法的具體例子可參考圖一所示：

 

 

圖一

 

 

為了敘述方便，本文將像圖一所示的棋子分佈形態轉化成一律橫寫的文字形式，以圖一來說，其「起始局面」是寫成：

5曹曹兵飛／4曹曹兵飛／3關關飛飛／2關關飛飛／1兵兵空空

 

即所有橫放大將稱為「關」，直放的大將稱為「飛」，空格稱為「空」。把這個橫寫的文字式還原，便是

 

                五線        曹曹兵飛

                四線        曹曹兵飛

                三線        關關飛飛

                二線        關關飛飛

                一線        兵兵空空

 

所以，圖一的倒影玩法的「目標局面」的文字形式是：

5兵兵空空／4關關飛飛／3關關飛飛／2曹曹兵飛／1曹曹兵飛

 

易見所謂倒影是原在第五線的棋子要移到第一線上，在第四線的棋子要移到第二線上……佔兩條線的棋子，置在第四、五線上的棋子要移到第一、二線上……諸如此類。

 

圖一的反影玩法的「目標局面」的文字形式是：

5空空兵兵／4飛飛關關／3飛飛關關／2飛兵曹曹／1飛兵曹曹

 

易見所謂反影，不僅是縱向的次序逆轉了，橫向的左右次序也同時逆轉了。

 

　　華容道遊戲有一類佈局稱為「無橫局」（或「五直局」），即在佈局裡所有五個1×2的大將都豎放。以下本文將給出一個簡短證明，證明：五直局裡的倒影和反影玩法都不會有解。

 

 

證明

　　據倒影和反影玩法的特別要求，在五直局的起始局面上，2×2大方塊曹操如果位於二、三線上，則在目標局面上，它須位於三、四線上。在起始局面上，2×2大方塊曹操如果位於一、二線上，則在目標局面上，它須位於四、五線上。

 

　　現在我們先把「曹操」置於二、三線上，基於對稱性，只需考慮兩種可能，如圖二所示，一種是「曹操」在右方的情況（如圖二的上半部所示），一種是「曹操」在棋盤中間的情況（如圖二的下半部所示）。但不管是哪種，在五直局裡，我們會發覺至少總得有一員直將須放在四、五線上，位於「曹操」的上方，阻擋着曹操從二、三線往上向第四線移。換句話說，在五直局裡，當「曹操」位於二、三線，是沒法往第四線移的。基於對稱性，要是「曹操」一開始是位於三、四線，它是不可能往下方的第二線移的。

 

 

 

圖二

 

 

　　同理，當「曹操」一開始時是位於一、二線，它是不可能越過第四線而置於第四、五線上；反之，一開始時「曹操」位於四、五線，它也不可能越過第二線而置於第一、二線上。

 

　　以上所述，是跟倒影和反影玩法的要求完全矛盾的，所以，五直局裡的倒影和反影玩法都不會有解。

 

證畢