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粵語歌文化歷史研究者,喜歡鑽研文字與音樂的創作,也喜愛數學與棋藝等等。

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2011-02-08 07:35:24

 
 
問題的提出
 
  華容道遊戲的玩法很多,其中兩種是「倒影」和「反影」。這兩種玩法的具體例子可參考圖一所示:
 
 

圖一

 
 
為了敘述方便,本文將像圖一所示的棋子分佈形態轉化成一律橫寫的文字形式,以圖一來說,其「起始局面」是寫成:

5曹曹兵飛/4曹曹兵飛/3關關飛飛/2關關飛飛/1兵兵空空

 

即所有橫放大將稱為「關」,直放的大將稱為「飛」,空格稱為「空」。把這個橫寫的文字式還原,便是

 

                五線        曹曹兵飛

                四線        曹曹兵飛

                三線        關關飛飛

                二線        關關飛飛

                一線        兵兵空空

 

所以,圖一的倒影玩法的「目標局面」的文字形式是:

5兵兵空空/4關關飛飛/3關關飛飛/2曹曹兵飛/1曹曹兵飛

 

易見所謂倒影是原在第五線的棋子要移到第一線上,在第四線的棋子要移到第二線上……佔兩條線的棋子,置在第四、五線上的棋子要移到第一、二線上……諸如此類。

 

圖一的反影玩法的「目標局面」的文字形式是:

5空空兵兵/4飛飛關關/3飛飛關關/2飛兵曹曹/1飛兵曹曹

 

易見所謂反影,不僅是縱向的次序逆轉了,橫向的左右次序也同時逆轉了。

 

  華容道遊戲有一類佈局稱為「無橫局」(或「五直局」),即在佈局裡所有五個1×2的大將都豎放。以下本文將給出一個簡短證明,證明:五直局裡的倒影和反影玩法都不會有解

 

 

證明

  據倒影和反影玩法的特別要求,在五直局的起始局面上,2×2大方塊曹操如果位於二、三線上,則在目標局面上,它須位於三、四線上。在起始局面上,2×2大方塊曹操如果位於一、二線上,則在目標局面上,它須位於四、五線上。

 

  現在我們先把「曹操」置於二、三線上,基於對稱性,只需考慮兩種可能,如圖二所示,一種是「曹操」在右方的情況(如圖二的上半部所示),一種是「曹操」在棋盤中間的情況(如圖二的下半部所示)。但不管是哪種,在五直局裡,我們會發覺至少總得有一員直將須放在四、五線上,位於「曹操」的上方,阻擋着曹操從二、三線往上向第四線移。換句話說,在五直局裡,當「曹操」位於二、三線,是沒法往第四線移的。基於對稱性,要是「曹操」一開始是位於三、四線,它是不可能往下方的第二線移的。

 

 

 

圖二

 

 

  同理,當「曹操」一開始時是位於一、二線,它是不可能越過第四線而置於第四、五線上;反之,一開始時「曹操」位於四、五線,它也不可能越過第二線而置於第一、二線上。

 

  以上所述,是跟倒影和反影玩法的要求完全矛盾的,所以,五直局裡的倒影和反影玩法都不會有解

 

證畢

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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