華容道遊戲兩類無解玩法的數學證明的基本思路

 

 

　　華容道遊戲裡，有不少佈局的曹出玩法是沒有解的。而之前筆者觀察過，一橫類的所有佈局，其倒影和反影的玩法都不會有解的（這一點其實並未使用程式窮盡地查證一遍，只是相信無例外）。最近，研究起無橫局（或稱「五直局」）的兩將易位的解法來，發覺在某一個佈局裡，十種兩將易位，無一有解。這回得到Leo Jay大兄幫忙，以程式把所有五直佈局搜查一遍，得出的結論是，搜查盡2786個五直局，任二將的易位俱無解。這裡特別感謝Leo Jay大兄的鼎力幫助！

 

　　數學家總是認為，電腦查證出的結論不能算是有效證明，必須用數學方法嚴格證明了的結論，才能算數。所以，我們是有兩個有待使用嚴格數學方法證明的「華容道遊戲猜想」：

 

                其一　一橫類佈局的倒影、反影玩法無解。

                其二　五直類佈局的兩將易位玩法無解。

 

　　這兩個猜想，自問沒有能力證明。但想過其中的證明思路。

 

　　以猜想一而言，宜先引入如甲圖所示的區域概念：

 

甲圖

 

 

如甲圖，一線至三線所包含的區域稱「下區域」，三線至五線所包含的區域稱「上區域」，如果我們能證明，一橫類佈局中的橫放大將要是處在「上區域」，則不可能把它移到一線或二線的位置，反之，橫放大將要是處在「下區域」，就不可能把它移到四線或五線的位置；那麼，進一步證明「一橫類佈局的倒影、反影玩法無解」應該不成問題。

 

　　難點之一是當橫放大將處在第三線，如何判斷它是屬於「下區域」還是「上區域」，相當於判定它只能向下移或只能向上移。

 

　　對於猜想二，筆者估計跟下面乙圖所示的「兩兵兩將任意換位的空間」有關（但不知是直接關係還是只屬間接關係）。在「有橫類」的佈局裡，我們總可以調整出一個2×4的矩形空間，讓兩枚小兵與兩枚大將（同是直放或同是橫放）任意調位。

 

 

乙圖

 

 

　　但是，一個橫放的大將都沒有的五直將佈局，是不存在這種「兩兵兩將任意換位的空間」的，而這相信是導致「五直類佈局的兩將易位玩法無解」的原因之一。當然，五直局不存在「兩兵兩將任意換位的空間」目前只是由觀察所得的結論，它亦需嚴格的數學證明，然而這一點的證明應是比較容易的，因為當我們在「五直佈局」裡先安排好這樣可讓「兩兵兩將任意換位的空間」，也就是兩小兵兩直將佔用去闊兩格高四格的空間，餘下來的空位，要麼放得下曹操和兩員直將，餘下一員直將無處可放；要麼放得下三員直將，曹操卻放不下。