盈不足術學習筆記（續篇）

 

　　近期偷閒時再多看了點有關盈不足術的材料。這裡把自己感興趣的部份整理出來，做個筆記。

 

　　先是王鴻鈞、孫宏安著的《中國古代數學思想方法》（「數學方法論叢書」之一，江蘇教育出版社1989年5月初版），在介紹到盈不足術時指出，如果題目屬一次函數，盈不足術能給出精確解。如果並非一次函數，則迭用此法，可以逐步逼近精確解。《九章算術》裡的「盈不足」章的第11、12和19題就只能得出近似解。這種方法，在現代解某些高次代數方程和超越方程時還能應用。盈不足術實際就是線性插值法，也稱為試位法、雙設法等等。是《九章算術》的一項重要貢獻。

 

　　繼而是郁祖權著的《中國古算解趣》（「好玩的數學叢書」之一，科學出版社2004年10月初版），書中便有提到一些現代的數學問題，也是可以採用盈不足術來解的。例如頁153提到2003年上海高考數學試卷中的一道題：

 

求方程x³＋log x ＝ 18 的根（結果精確到0.1）

 

由於上海高考是可以使用計算器的，所以是可以用計算器作輔助，以盈不足術的方法來求方程的根：

設

x ＝ 2，則 2³＋log 2 － 18 ＝ －9.70            （不足）

x ＝ 3，則 3³＋log3 － 18 ＝ 9.48                 （盈）

 

代入盈不足術的公式３，

                x ＝ （3 × 9.70 ＋ 2 × 9.48）÷（9.48＋9.70）≈ 2.51

 

為了提高精確度，須再算一次：設

x ＝ 2.5，則 2.5³＋log 2.5 － 18 ＝ －1.98   （不足）

這時，    x ＝ （3 × 1.98 ＋ 2.5 × 9.48）÷（9.48＋1.98）＝ 2.586 ≈ 2.6

 

實際上，這就是用弦位法求近似根。

 

 

　　郁著裡提到另一道現代數學題：

　　甲乙二人相距32千米，在兩地同時相向出發。甲以勻速4千米∕小時前進，乙第一小時以2千米∕小時勻速前進，第二小時以2.5千米∕小時勻速前進，……，第k小時以2＋0.5(k－1)千米∕小時的速度勻速前進，……，請問甲、乙在多少小時之後相遇？

 

這裡不擬研究怎樣用代數方法來求解。只是介紹採用盈不足術的解法：

 

設相遇的時間是4小時後，按題意：4×4＋(2＋2.5＋3＋3.5)＝27千米，不足5千米。

設相遇的時間是5小時後，按題意：4×5＋(2＋2.5＋3＋3.5＋4)＝35千米，盈3千米。

 

代入盈不足術的公式３，

相遇的時間是在 （5 × 5 ＋ 4 × 3）÷（3＋5）＝ 4.625小時之後。

 

 

　　值得一提的是南宋秦九韶的《數書九章》卷十六第６題「計造軍衣」，涉及的是更複雜的「雙套盈朒（不足）」的問題：

　　問：庫有布、棉、絮三色，計料欲制軍衣。其布：6人8匹少160匹，7人9匹剩560匹。其棉：8人150兩，剩16500兩，9人170兩，剩14400兩。其絮：4人13斤，少6804斤，5人14斤，適足。欲知軍士及布、棉、絮各幾何？（注：原文「其絮，四人一十三斤少六千八百四斤……」今人有失察者譯寫成「少6840斤」，誤矣！這亦可見古人真的沒有一百零幾的說法）

 

　　這其實是三組盈不足問題併合在一起。但每組都比一般盈不足題目複雜些。其一般形式是「每a₁人出x₁盈y₁，每a₂人出x₂不足y₂，問人、物各幾何。」由於形式稍異，計算公式亦有差異，變成下列的模樣（也可見一般的盈不足問題是當這公式裡的a₁和a₂俱是1的特殊情形）：

 

 

 

以公式先算第一組，

軍隊人數是：7×6（560＋160）÷（7×8－6×9）＝15120人

布的數量是：（6×9×160＋7×8×560）÷（7×8－6×9）＝20000匹

 

其餘有關棉和絮的數量，可以繼續使用上列的盈不足術公式計算，也可以用剛剛算得的軍隊人數推算。但要注意，有關棉的一組是「兩盈」問題，採用公式時，正號須全改為負號，並以大數減小數。