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粵語歌文化歷史研究者,喜歡鑽研文字與音樂的創作,也喜愛數學與棋藝等等。

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分类:

2010-03-11 07:33:38

 
  盈不足術,過去其實是接觸過的,但總是不上心,也沒衝動拿起紙筆去揣摩其原理與奧妙。近日瀏覽王擎天編著的《越玩越聰明的〈孫子算經〉》,卻是開始蠻有興致的去花時間和精神來了解這個獲譽為「萬能算法」的盈不足術。中算史家錢寶琮就曾說:「在十六、十七世紀時期,歐洲人的代數學還沒有發展到充分利用符號的階段,這種萬能算法便長期統治了他們的數學王國。」

 

  古代中國的數學是巧於設計算法的,比如「盈不足術」,掌握了它,就可以輕鬆地解決一大類看似雜七雜八、隱而不見、難以索解的問題。站在應用數學方面來說,是方便了很多沒有甚麼數學細胞,又或是不需要深入研究數學理論的人的。筆者多看了幾道可用盈不足術來解決的問題,感到這些問題,小學高年班都會看得明白並感到富於趣味:原來除了列方程,還可以用這種又稱作「二次假設法」的盈不足術來解!

 

  這裡為自己做了一點盈不足術的學習筆記,也希望其他網友能用得上。

 

 

公式頁

 

 

例題一

今有三人共車,二車空;二人共車,九人步,問人與車各幾何?(摘自《孫子算經》)

 

解:

按題意

車數 × 3人-6人=人數

車數 × 2人+9人=人數

 

據公式2可算出車數:(69)÷(32)=15

據公式1可算出人數:(3×92×6)÷(32)=39

 

注:其實這一題用代數方法亦不難先解出車數是15輛。

 

 

例題二

今有百鹿入城,家取一鹿,不盡;又三家共一鹿,適盡。問城中家有幾何?(摘自《孫子算經》)

 

按:這是很簡單的代數問題,比例題一還簡單些。設城中有x家,則有x+(x∕3)=100,這樣便解得x=75

可是古人卻是用盈不足術來解的,雖然好像是用了牛刀來宰雞,但從中我們可以看到使用盈不足術的一般步驟。

 

分別假設城中有90家或72家,可得下面的關係式:

(a) × 9020100              因為9090÷3120,比10020

(a) × 724100                因為7272÷396,比1004

 

據公式3,可算出:(90×472×20)÷(204)=75

 

 

例題三

按體積計算,已知三份漆可以換得四份油;四份油可以調和五份漆。現有漆30,如果用一部份去換油,換來的油調和餘下的漆,恰好把漆用光。問:用以換油的漆有多少?換得的油有多少?這些油又調和了多少漆?(摘自《九章算術》,題目已譯成白話)

 

先設出漆9,則換油12,可調和漆15,這裡共有漆24,不足6

再設出漆12,則換油16,可調和漆20,這裡共有漆32,盈2

由此得關係式:

(a) × 12230

(a) × 9630

 

據公式3,可算出用以換油的漆的數量是:(12×69×2)÷(26)=11.25

所以,換得的油有15,調和了18.75的漆。

 

註:這一題用代數方法來解的話,列方程時頗需要多動一下腦筋才成。

                m是用以換油的數量,則有43 m × 54 30 m   ……

反而,使用盈不足術的話,就只是做兩次假設,然後把有關數據代入公式,腦筋明顯是少花了。

 

 

例題四

今有大器五小器一容3斛,大器一小器五容2斛,問大小器各容幾何?(摘自《九章算術》)

 

解:

先設大器容0.5斛,小器相應容:30.5×50.5斛;

                        大器一小器五共容:0.50.5×53斛,盈1斛。

再設大器容0.55斛,小器相應容:30.55×50.25斛;

                        大器一小器五共容:0.550.25×51.8斛,不足0.2斛。

得關係式:

(a) × 0.512

(a) × 0.550.22

據公式3,可算出大器的容量是:(0.5×0.20.55×1)÷(10.2)=1324斛,

所以小器的容量是:724斛。

 

註:以代數方法求解,這題目屬二元一次聯立方程。但用盈不足術,則可以完全不管,只是如法假設兩回,取得數據後代入公式便成吶!

 

 

例題五

用繩子來量度井的深度,把繩子三摺來量度,井外餘繩4尺;把繩子四摺來量度,井外餘繩1尺。請算出井的深度和繩長多少。(摘自《算法統宗》,題目已譯成白話)

 

注意,這是個「兩盈」問題。所以各個公式裡的正號改為負號,並以大數減小數。

由題意,有以下關係式:

繩長 × 13 4 井深

繩長 × 14 1 井深

據公式1可算出井深:(14 × 4 13 × 1)÷(13 14)=8

據公式2可算出繩長:(4 1)÷(13 14)=36

 

 

  註:盈不足術除了「盈、不足」、「兩盈」、「兩不足」外,尚有「盈、適足」及「適足、不足」兩種情況,但這最後的兩種情況,基本上都可照套用上述的公式,只需注意各個差數都取絕對值便行。

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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