盈不足術學習筆記

 

　　盈不足術，過去其實是接觸過的，但總是不上心，也沒衝動拿起紙筆去揣摩其原理與奧妙。近日瀏覽王擎天編著的《越玩越聰明的〈孫子算經〉》，卻是開始蠻有興致的去花時間和精神來了解這個獲譽為「萬能算法」的盈不足術。中算史家錢寶琮就曾說：「在十六、十七世紀時期，歐洲人的代數學還沒有發展到充分利用符號的階段，這種萬能算法便長期統治了他們的數學王國。」

 

　　古代中國的數學是巧於設計算法的，比如「盈不足術」，掌握了它，就可以輕鬆地解決一大類看似雜七雜八、隱而不見、難以索解的問題。站在應用數學方面來說，是方便了很多沒有甚麼數學細胞，又或是不需要深入研究數學理論的人的。筆者多看了幾道可用盈不足術來解決的問題，感到這些問題，小學高年班都會看得明白並感到富於趣味：原來除了列方程，還可以用這種又稱作「二次假設法」的盈不足術來解！

 

　　這裡為自己做了一點盈不足術的學習筆記，也希望其他網友能用得上。

 

 

公式頁

 

 

例題一

今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？（摘自《孫子算經》）

 

解：

按題意

車數 × 3人－6人＝人數

車數 × 2人＋9人＝人數

 

據公式２可算出車數：（6＋9）÷（3－2）＝15輛

據公式１可算出人數：（3×9＋2×6）÷（3－2）＝39人

 

注：其實這一題用代數方法亦不難先解出車數是15輛。

 

 

例題二

今有百鹿入城，家取一鹿，不盡；又三家共一鹿，適盡。問城中家有幾何？（摘自《孫子算經》）

 

按：這是很簡單的代數問題，比例題一還簡單些。設城中有ｘ家，則有ｘ＋（ｘ∕3）＝100，這樣便解得ｘ＝75。

可是古人卻是用盈不足術來解的，雖然好像是用了牛刀來宰雞，但從中我們可以看到使用盈不足術的一般步驟。

 

解

分別假設城中有90家或72家，可得下面的關係式：

Ｋ_(a) × 90－20＝100              因為90＋90÷3＝120，比100多20。

Ｋ_(a) × 72＋4＝100                因為72＋72÷3＝96，比100少4。

 

據公式３，可算出：（90×4＋72×20）÷（20＋4）＝75

 

 

例題三

按體積計算，已知三份漆可以換得四份油；四份油可以調和五份漆。現有漆30升，如果用一部份去換油，換來的油調和餘下的漆，恰好把漆用光。問：用以換油的漆有多少？換得的油有多少？這些油又調和了多少漆？（摘自《九章算術》，題目已譯成白話）

 

解

先設出漆9升，則換油12升，可調和漆15升，這裡共有漆24升，不足6升。

再設出漆12升，則換油16升，可調和漆20升，這裡共有漆32升，盈2升。

由此得關係式：

Ｋ_(a) × 12－2＝30

Ｋ_(a) × 9＋6＝30

 

據公式３，可算出用以換油的漆的數量是：（12×6＋9×2）÷（2＋6）＝11.25升

所以，換得的油有15升，調和了18.75升的漆。

 

註：這一題用代數方法來解的話，列方程時頗需要多動一下腦筋才成。

                設m是用以換油的數量，則有4∕3 m × 5∕4 ＝ 30 － m   ……

反而，使用盈不足術的話，就只是做兩次假設，然後把有關數據代入公式，腦筋明顯是少花了。

 

 

例題四

今有大器五小器一容３斛，大器一小器五容２斛，問大小器各容幾何？（摘自《九章算術》）

 

解：

先設大器容0.5斛，小器相應容：3－0.5×5＝0.5斛；

                        大器一小器五共容：0.5＋0.5×5＝3斛，盈1斛。

再設大器容0.55斛，小器相應容：3－0.55×5＝0.25斛；

                        大器一小器五共容：0.55＋0.25×5＝1.8斛，不足0.2斛。

得關係式：

Ｋ_(a) × 0.5－1＝2

Ｋ_(a) × 0.55＋0.2＝2

據公式３，可算出大器的容量是：（0.5×0.2＋0.55×1）÷（1＋0.2）＝13∕24斛，

所以小器的容量是：7∕24斛。

 

註：以代數方法求解，這題目屬二元一次聯立方程。但用盈不足術，則可以完全不管，只是如法假設兩回，取得數據後代入公式便成吶！

 

 

例題五

用繩子來量度井的深度，把繩子三摺來量度，井外餘繩４尺；把繩子四摺來量度，井外餘繩１尺。請算出井的深度和繩長多少。（摘自《算法統宗》，題目已譯成白話）

 

解

注意，這是個「兩盈」問題。所以各個公式裡的正號改為負號，並以大數減小數。

由題意，有以下關係式：

繩長 × 1∕3 － 4尺 ＝ 井深

繩長 × 1∕4 － 1尺 ＝ 井深

據公式１可算出井深：（1∕4 × 4 － 1∕3 × 1）÷（1∕3 － 1∕4）＝8尺

據公式２可算出繩長：（4 － 1）÷（1∕3 － 1∕4）＝36尺

 

 

　　註：盈不足術除了「盈、不足」、「兩盈」、「兩不足」外，尚有「盈、適足」及「適足、不足」兩種情況，但這最後的兩種情況，基本上都可照套用上述的公式，只需注意各個差數都取絕對值便行。