華容道遊戲研究之「歧形」搜尋記（上）

 

 

　　何謂「歧形」，網友可參考筆者的蕪文「華容道經典局「層層設防」兩種解法及「歧形」問題」。以往，是由於已知二、三橫類別的華容道佈局存在一些有兩種最優解的步法，因而推知有「歧形」的。不過，要判斷一個佈局是否有兩種最優解，其實很不容易的。過去所以能發現，是因為察覺人們累積下來的經驗解法跟電腦程式給出的解法竟然不一樣，但卻都能同樣達到最優解的步數。

 

　　所以這幾個月一直就只知二、三橫類別的佈局有「歧形」，其他類別的佈局是否有「歧形」，卻是一無所知。筆者以類推的方法，認為「歧形」與「尾局定式」關係密切，覺得可以通過「尾局定式」去尋找「歧形」。具體地說，就是先找出任意兩個定式之間的最短路徑──即一個作為起始局面，一個作為指定終局所走的最少步數；而「歧形」就很有機會可從這最短路徑之中找到（推而廣之，則可能從任意兩個同橫類佈局的最短路徑裡找到）。

 

　　近日，得到Leo Jay大兄的幫忙，利用程式算出這樣的最短路徑──實在也蠻瑣碎的，筆者所判定的一橫類尾局定式有四個，四橫類定式有五個，於是要計算的最短路徑就有十六個之多。這裡衷心感謝他的鼎力幫助。

 

　　也是用類推的方法，筆者還有如下的猜測：假設任意兩個尾局定式的曹出最優解步數之差是Ｋ，而這兩個尾局定式的最短路徑的步數是Ｄ，則Ｋ與Ｄ必須同奇偶，這樣，二者之差才可以被2整除。筆者認為，要是Ｋ與Ｄ之差是奇數，則「歧形」不大可能存在於相關的最短路徑裡。這個猜測，筆者是基於二、三橫類別的歧形與其相關的尾局定式的關係而推想出來的。

 

　　縱然有這個猜測，筆者還是寧可多花些時間，把Ｋ與Ｄ之差是奇數的情況也細加端詳，因為恐妨有例外的情況，走了寶就很不值。

 

 

　　先報告一橫類佈局的情況。據Leo Jay的程式計算結果，一橫類四個尾局定式，雖有六種配對方式，但只有兩種是走得通的，那是定式Ａ到定式Ｃ，以及定式Ｂ到定式Ｄ，至於Ａ去Ｂ、Ａ去Ｃ、Ｂ去Ｃ、Ｃ去Ｄ都是無解的。筆者想起，一橫類佈局的倒影走法通常也是沒有解的，相信兩者之間是大有關係的。這些無解的情況，看來需要用數學方法才可以給出證明，但如何證明，卻毫無頭緒，也不知證明起來是難是易。

 

　　定式Ａ的曹出最優解是45步，定式Ｃ則是40步，二者之差是5。而Leo Jay大兄算得從Ａ往Ｃ的最短路徑是44步，44與5並非同奇偶。

 

　　定式Ｂ的曹出最優解是38步，定式Ｄ則是42步，二者之差是4。而Leo Jay大兄算得從Ｂ往Ｄ的最短路徑是27步，4與27也並非同奇偶。

 

　　據上文所提出的猜測，似乎想從這幾個定式找出一橫類的「歧形」是不大可能了。然而，幸好沒有因此罷手，經過筆者細加檢驗，卻在從定式Ａ走到定式Ｃ的最短路徑裡發現了一個「歧形」！不過，補充的說句，這也不是直接從那條最短路徑裡找到的，而是在疑似的目標局面上稍微調整才得到的。詳情筆者在下一篇才介紹了，這裡先介紹一下從定式Ａ走到定式Ｃ的走法。

 

 

 

從一橫尾局定式Ａ走到一橫尾局定式Ｃ的最短路徑：

 

                （從尾局定式Ａ出發）兵下折左，兵下，飛右，飛下，曹左，飛上，飛左，二兵下，飛右，

                飛上，兵左折上，關上，二兵右，二飛下，二兵左，關上，

                兵上折右，二飛右，兵下，兵左折下，關左，兵上折左，兵上，飛右，兵下，

                飛下，飛左，兵上，飛上，兵右，二飛下，兵左，飛上，兵上，

                飛右，飛下，兵左折上，關右（成尾局定式Ｃ，共44步）