韓湛新的可抹二次幻方新作

　　

 

 

　　在臨啟程往北京遊玩前，收到數友韓湛新兄的信，介紹了他的新發現，然而數學的東西很需要一份閑靜之心來欣賞體會，只好擱著。回來後，忙寫遊記隨筆，仍只得擱著。今天總算是可以閑下來了。於是拿出韓兄的信好好的閱讀。

 

　　原來在萬樹軍兄的「可抺幻方」的啟迪下，韓兄又更上一層樓，構築了三個可抹的二次幻方。

 

　　這裡簡介一下其中兩個。第一個是可抹八階二次幻方：

 

圖一　可抹八階二次幻方

	16278	41631	36544	5185	27453	62816	55727	18362
	26452	63817	54726	19363	13275	44634	33541	8188
	1181	40548	45635	12274	22366	51723	58812	31457
	23367	50722	59813	30456	4184	37545	48638	9271
	38546	3183	10272	47637	49721	24368	29455	60814
	52724	21365	32458	57811	39547	2182	11273	46636
	43633	14276	7187	34542	64818	25451	20364	53725
	61815	28454	17361	56728	42632	15277	6186	35543

 

圖一這個幻方，每條橫線、直線、對角線上的八個數的和都是263996，平方和都是11502640244。所以，它名為「二次幻方」。而所謂「可抹」，是由於把這個幻方裡每一格的數的個位數都同時抹掉的話（成圖二），二次幻方的性質仍然不變！

 

圖二

	1627	4163	3654	518	2745	6281	5572	1836
	2645	6381	5472	1936	1327	4463	3354	818
	118	4054	4563	1227	2236	5172	5881	3145
	2336	5072	5981	3045	418	3754	4863	927
	3854	318	1027	4763	4972	2436	2945	6081
	5272	2136	3245	5781	3954	218	1127	4663
	4363	1427	718	3454	6481	2545	2036	5372
	6181	2845	1736	5672	4263	1527	618	3554

 

事實上，圖二的二次幻方，還可以再抹兩次，形成圖三和圖四的二次幻方：

 

圖三

	162	416	365	51	274	628	557	183
	264	638	547	193	132	446	335	81
	11	405	456	122	223	517	588	314
	233	507	598	304	41	375	486	92
	385	31	102	476	497	243	294	608
	527	213	324	578	395	21	112	466
	436	142	71	345	648	254	203	537
	618	284	173	567	426	152	61	355

 

 

圖四

	16	41	36	5	27	62	55	18
	26	63	54	19	13	44	33	8
	1	40	45	12	22	51	58	31
	23	50	59	30	4	37	48	9
	38	3	10	47	49	24	29	60
	52	21	32	57	39	2	11	46
	43	14	7	34	64	25	20	53
	61	28	17	56	42	15	6	35

 

 

　　據韓兄在信中所述，圖一這個「可抹八階二次幻方」，製作原理如下：

 

　　幻方中的萬位數千位數是原八階二次幻方的數，百位數是原幻方的從小到大的順序：比方說原幻方第一行數為

                16    41    36    5      27    62    55    18

則按其大小順序就是：

                2      6      5      1      4      8      7      3

十位數是以9減去百位數之差：

                7      3      4      8      5      1      2      6

個位數是原幻方數以８除之的餘數，若餘數為０則視為８：

                8      1      4      5      3      6      7      2

 

 

　　一個看來非常精巧複雜的「可抹八階二次幻方」，製作原理卻是這樣簡單，真是難以想像。韓兄還再接再厲，製作了下面的一個「可抹九階鏡反二次幻方」：

 

 

圖五　可抹九階鏡反二次幻方

	7832	3971	5753	6248	8327	1199	2585	4664	9416
	2288	4367	9119	7535	3674	5456	6842	8921	1793
	6545	8624	1496	2882	4961	9713	7238	3377	5159
	3773	5852	7931	8129	1298	6347	4466	9515	2684
	4169	9218	2387	3476	5555	7634	8723	1892	6941
	8426	1595	6644	4763	9812	2981	3179	5258	7337
	5951	7733	3872	1397	6149	8228	9614	2486	4565
	9317	2189	4268	5654	7436	3575	1991	6743	8822
	1694	6446	8525	9911	2783	4862	5357	7139	3278

 

比起圖一那個，名字中又多了「鏡反」二字，看來又更複雜了。所謂「鏡反」，是把圖五幻方裡每一格的數字都反序來寫，構成的仍是可抹九階二次幻方！實際變化效果見圖六：

 

圖六

	2387	1793	3575	8426	7238	9911	5852	4664	6149
	8822	7634	9119	5357	4763	6545	2486	1298	3971
	5456	4268	6941	2882	1694	3179	8327	7733	9515
	3773	2585	1397	9218	8921	7436	6644	5159	4862
	9614	8129	7832	6743	5555	4367	3278	2981	1496
	6248	5951	4466	3674	2189	1892	9713	8525	7337
	1595	3377	2783	7931	9416	8228	4169	6842	5654
	7139	9812	8624	4565	6347	5753	1991	3476	2288
	4961	6446	5258	1199	3872	2684	7535	9317	8723

 

換句話說，圖五和圖六至少包含了四個三位數九階鏡反二次幻方及四個兩位數九階鏡反二次幻方！

 

　　不過，這裡筆者想躲躲懶，請網友自己去試試驗證好了。