4次12階及6次64階等冪和數鏈的具體例子

　　

 

 

 

 

 

 

 

 

　　從筆者「五次等冪和數鏈的自生性質」一文可知，製造五次六階的等冪和數鏈竟可以是那樣不費吹灰之力。但其實僅限於五次六階是這樣，要是五次八階的，便已經不可以沿用這套方法。至於偶次的等冪和數鏈，尤其是階數小的，要構作出來頗是艱難。

 

　　以四次等冪和數鏈為例，個人最少也只能找到十二階的具體例子，階數再少的，便不知從何入手了。

 

　　以下是筆者用升冪法構造的十二階四次四組等冪和數鏈，要說明的是，那升冪方法是我的朋友韓湛新首先發現的。

 

　　我們還是從那個五次等冪和數組出發：

　　　(0, 5, 6, 16, 17, 22)₅＝(1, 2, 10, 12, 20, 21)₅

 

由於它可分割成四組二次等冪和數鏈的，即有：

　　　(0, 16, 17)₂＝(1, 12, 20)₂＝(2, 10, 21)₂＝(5, 6, 22)₂　

 

把它排成如下的形式：

0, 16, 17;

1, 12, 20;

2, 10, 21;

5, 6, 22.

 

 

然後再像下面那樣的多寫一遍，變成如下的數組：

0, 16, 17,   5, 6, 22;

1, 12, 20;   2, 10, 21;

2, 10, 21;   1, 12, 20;

5, 6, 22,    0, 16, 17,

 

接下來將四組數的後面的三個數都加上13（當然也可以選擇加上別的正整數）：

0, 16, 17,   5＋13, 6＋13, 22＋13;

1, 12, 20;   2＋13, 10＋13, 21＋13;

2, 10, 21;   1＋13, 12＋13, 20＋13;

5, 6, 22,    0＋13, 16＋13, 17＋13,

 

加好之後並每組數都順一順次序，便成為下列的四組數：

0, 16, 17, 18, 19, 35;

1, 12, 15, 20, 23, 34;

2, 10, 14, 21, 25, 33;

5, 6, 13, 22, 29, 30.

 

這四組數的一次冪和都是105，二次冪和都是2455，三次冪和都是64575。也就是說它們是四組三次六階等冪和數鏈。

 

　　現在，再像上面那樣的把四組數在各組數的後面重寫一遍：

0, 16, 17, 18, 19, 35   5, 6, 13, 22, 29, 30;

1, 12, 15, 20, 23, 34   2, 10, 14, 21, 25, 33;

2, 10, 14, 21, 25, 33   1, 12, 15, 20, 23, 34;

5, 6, 13, 22, 29, 30    0, 16, 17, 18, 19, 35.

 

接下來，把這四組數後面的六個數都加上26：

0, 16, 17, 18, 19, 35   5＋26, 6＋26, 13＋26, 22＋26, 29＋26, 30＋26;

1, 12, 15, 20, 23, 34   2＋26, 10＋26, 14＋26, 21＋26, 25＋26, 33＋26;

2, 10, 14, 21, 25, 33   1＋26, 12＋26, 15＋26, 20＋26, 23＋26, 34＋26;

5, 6, 13, 22, 29, 30    0＋26, 16＋26, 17＋26, 18＋26, 19＋26, 35＋26.

 

整理後，新得的四組數乃是：

0, 16, 17, 18, 19, 31, 32, 35, 39, 48, 55, 56;

1, 12, 15, 20, 23, 28, 34, 36, 40, 47, 51, 59;

2, 10, 14, 21, 25, 27, 33, 38, 41, 46, 49, 60;

5, 6, 13, 22, 26, 29, 30, 42, 43, 44, 45, 61

 

這四組數是十二階四次等冪和數鏈，其一次冪和都是366，二次冪和都是14426，三次冪和都是639036，四次冪和都是30464054。

 

　　據筆者的推測，由於當初是從一對五次等冪和數組分割出四組數來的，所以這最後的四組數，應該還可以依樣畫葫蘆從十二階四次等冪和數鏈升為廿四階五次等冪和數鏈。不過對我們來說，五次等冪和數鏈而有廿四階之多，也沒有甚麼意思了。

 

 

　　現在來看看六次的等冪和數鏈的情況，要找出具體的例子，一點都不易。不過，由於筆者在以置換的記法來研究等冪和數組時，發現某些七次等冪和數組可分割成幾組三次等冪和數鏈，那麼，從這些三次等冪和數鏈出發，同樣使用上面的那種升冪方法，應可得到六次的等冪和數鏈實例。

 

(＊)　　　　[(1, 10, 16, 7)₃(4, 6, 13, 11)₃(2, 3, 15, 14)₃(5, 8, 12, 9)₃]₇

 

上面(＊)裡的那個用置換記法記的七次等冪和恆等式，就是可以分割成四個等冪和恆等式鏈的數式，以Ａ＝１，Ｂ＝６代入(＊)式，然後把全部數減去13，便有

 

甲組：0, 7, 13, 22, 26, 27, 40, 45, 48, 53, 66, 67, 71, 80, 86, 93;

乙組：2, 3, 17, 20, 25, 30, 36, 46, 47, 57, 63, 68, 73, 76, 90, 91.

 

它們的一次冪和都是：744

　　　二次冪和都是：47176

　　　三次冪和都是：3363624

　　　四次冪和都是：256116712

　　　五次冪和都是：20336340504

　　　六次冪和都是：1662523412536

　　　七次冪和都是：138865720775784

 

 

而甲乙這兩組數可分割成共四組的三次等冪和數鏈：

第一組：0, 22, 27, 45, 48, 66, 71, 93;

第二組：2, 20, 25, 46, 47, 68, 73, 91;

第三組：3, 17, 30, 36, 57, 63, 76, 90;

第四組：7, 13, 26, 40, 53, 67, 80, 86.

 

它們的一次冪和都是：372

　　　二次冪和都是：23588

　　　三次冪和都是：1681812

 

按上文所展示的升冪法處理之，加的數是52，則我們可以得到四組四次十六階的等冪和數鏈：

第一組：0, 22, 27, 45, 48, 59, 65, 66, 71, 78, 92, 93, 105, 119, 132, 138;

第二組：2, 20, 25, 46, 47, 55, 68, 69, 73, 82, 88, 91, 109, 115, 128, 142;

第三組：3, 17, 30, 36, 54, 57, 63, 72, 76, 77, 90, 98, 99, 120, 125, 143;

第四組：7, 13, 26, 40, 52, 53, 67, 74, 79, 80, 86, 97, 100, 118, 123, 145

 

現在，它們的一次冪和都是：1160

　　　　　　二次冪和都是：107496

　　　　　　三次冪和都是：11185880

　　　　　　四次冪和都是：1256342952

 

繼續用上面的升冪法處理，加的數是104，則我們可以得到四組五次三十二階的等冪和數鏈：

第一組：0, 22, 27, 45, 48, 59, 65, 66, 71, 78, 92, 93, 105, 111, 117, 119,

　　　　130, 132, 138, 144, 156, 157, 171, 178, 183, 184, 190, 201, 204, 222, 227, 249;

第二組：2, 20, 25, 46, 47, 55, 68, 69, 73, 82, 88, 91,107, 109, 115, 121,

　　　　128, 134, 140, 142, 158, 161, 167, 176, 180, 181, 194, 202, 203, 224, 229, 247;

第三組：3, 17, 30, 36, 54, 57, 63, 72, 76, 77, 90, 98, 99, 106, 120, 124,

　　　　125, 129, 143, 150, 151, 159, 172, 173, 177, 186, 192, 195, 213, 219, 232, 246;

第四組：7, 13, 26, 40, 52, 53, 67, 74, 79, 80, 86, 97, 100, 104, 118, 123,

　　　　126, 131, 145, 149, 152, 163, 169, 170, 175, 182, 196, 197, 209, 223, 236, 242.

 

現在，它們的一次冪和都是：3984

　　　　　　二次冪和都是：629328

　　　　　　三次冪和都是：111548016

　　　　　　四次冪和都是：21233215056

　　　　　　五次冪和都是：4243360475664

 

 

將新得的四組數繼續升冪，加的數是208，於是我們可得到四組六次六十四階的等冪和數鏈：

第一組：0, 22, 27, 45, 48, 59, 65, 66, 71, 78, 92, 93, 105, 111, 117, 119,

　　　　130, 132, 138, 144, 156, 157, 171, 178, 183, 184, 190, 201, 204, 215, 221, 222,

　　　　227, 234, 248, 249, 260, 261, 275, 282, 287, 288, 294, 305, 308, 312, 326, 331,

　　　　334, 339, 353, 357, 360, 371, 377, 378, 383, 390, 404, 405, 417, 431, 444, 450;

第二組：2, 20, 25, 46, 47, 55, 68, 69, 73, 82, 88, 91,107, 109, 115, 121,

　　　　128, 134, 140, 142, 158, 161, 167, 176, 180, 181, 194, 202, 203, 211, 224, 225,

　　　　229, 238, 244, 247, 262, 265, 271, 280, 284, 285, 298, 306, 307, 314, 328, 332,

　　　　333, 337, 351, 358, 359, 367, 380, 381, 385, 394, 400, 403, 421, 427, 440, 454;

第三組：3, 17, 30, 36, 54, 57, 63, 72, 76, 77, 90, 98, 99, 106, 120, 124,

　　　　125, 129, 143, 150, 151, 159, 172, 173, 177, 186, 192, 195, 210, 213, 219, 228,

　　　　232, 233, 246, 254, 255, 263, 276, 277, 281, 290, 296, 299, 315, 317, 323, 329,

　　　　336, 342, 348, 350, 366, 369, 375, 384, 388, 389, 402, 410, 411, 432, 437, 455;

第四組：7, 13, 26, 40, 52, 53, 67, 74, 79, 80, 86, 97, 100, 104, 118, 123,

　　　　126, 131, 145, 149, 152, 163, 169, 170, 175, 182, 196, 197, 208, 209, 223, 230,

　　　　235, 236, 242, 253, 256, 267, 273, 274, 279, 286, 300, 301, 313, 319, 325, 327,

　　　　338, 340, 346, 352, 364, 365, 379, 386, 391, 392, 398, 409, 412, 430, 435, 457.

 

 

現在，它們的一次冪和都是：14624

　　　　　　二次冪和都是：4300448

　　　　　　三次冪和都是：1420853216

　　　　　　四次冪和都是：501941278880

　　　　　　五次冪和都是：185206328908064

　　　　　　六次冪和都是：70476054255479648

 

 

　　顯見，這最後的四組數，乃是六次六十四階等冪和數鏈！據個人推測，由於這次最初的四組數是從七次等冪和數組分割出來的，所以應該還可以再升一次冪，造出七次128階等冪和數鏈，然而階數委實太多了，只好暫且停下來。