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分类： 嵌入式
2018-01-24 16:26:16
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。
??通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。
??此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。
??初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是”起点s到该顶点的路径”。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入 到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 … 重复该操作，直到遍历完所有顶点。
(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为”起点s到该顶点的距离”[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出”距离最短的顶点k”，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。
单纯的看上面的理论可能比较难以理解，下面通过实例来对该算法进行说明。
以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)。
初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！
第1步：将顶点D加入到S中。
此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起点D的距离是3。
第2步：将顶点C加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。
此时，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。
第3步：将顶点E加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。
此时，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。
第4步：将顶点F加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。
第5步：将顶点G加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。
第6步：将顶点B加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。
第7步：将顶点A加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。
此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。
以”邻接矩阵”为例对迪杰斯特拉算法进行说明，对于”邻接表”实现的图在后面会给出相应的源码。
// 邻接矩阵 typedef struct _graph
{ char vexs[MAX]; // 顶点集合 int vexnum; // 顶点数 int edgnum; // 边数 int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵 }Graph, *PGraph; // 边的结构体 typedef struct _EdgeData
{ char start; // 边的起点 char end; // 边的终点 int weight; // 边的权重 }EData;
Graph是邻接矩阵对应的结构体。
vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，
则表示”顶点i(即vexs[i])”和”顶点j(即vexs[j])”是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。
EData是邻接矩阵边对应的结构体。
/*
* Dijkstra最短路径。
* 即，统计图(G)中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。
*
* 参数说明：
* G -- 图
* vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。
* prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
* dist -- 长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。
*/ void dijkstra(Graph G, int vs, int prev[], int dist[])
{ int i,j,k; int min; int tmp; int flag[MAX]; // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。 // 初始化 for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
flag[i] = 0; // 顶点i的最短路径还没获取到。 prev[i] = 0; // 顶点i的前驱顶点为0。 dist[i] = G.matrix[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。 } // 对"顶点vs"自身进行初始化 flag[vs] = 1;
dist[vs] = 0; // 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。 for (i = 1; i < G.vexnum; i++)
{ // 寻找当前最小的路径； // 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(k)。 min = INF; for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
{ if (flag[j]==0 && dist[j]<min)
{ min = dist[j];
k = j;
}
} // 标记"顶点k"为已经获取到最短路径 flag[k] = 1; // 修正当前最短路径和前驱顶点 // 即，当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。 for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
{
tmp = (G.matrix[k][j]==INF ? INF : (min + G.matrix[k][j])); // 防止溢出 if (flag[j] == 0 && (tmp < dist[j]) )
{
dist[j] = tmp;
prev[j] = k;
}
}
} // 打印dijkstra最短路径的结果 printf("dijkstra(%c): \n", G.vexs[vs]); for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
printf(" shortest(%c, %c)=%d\n", G.vexs[vs], G.vexs[i], dist[i]);
}
这里分别给出”邻接矩阵图”和”邻接表图”的迪杰斯特拉算法源码。
/**
* C: Dijkstra算法获取最短路径(邻接矩阵)
*
* @author skywang
* @date 2014/04/24
*/ #include if(G.vexs[i]==ch) return i; return -1;
} /*
* 读取一个输入字符
*/ static char read_char()
{ char ch; do {
ch = getchar();
} while(!isLetter(ch)); return ch;
} /*
* 创建图(自己输入)
*/ Graph* create_graph()
{ char c1, c2; int v, e; int i, j, weight, p1, p2;
Graph* pG; // 输入"顶点数"和"边数" printf("input vertex number: "); scanf("%d", &v); printf("input edge number: "); scanf("%d", &e); if ( v < 1 || e < 1 || (e > (v * (v-1))))
{ printf("input error: invalid parameters!\n"); return NULL;
} if ((pG=(Graph*)malloc(sizeof(Graph))) == NULL ) return NULL; memset(pG, 0, sizeof(Graph)); // 初始化"顶点数"和"边数" pG->vexnum = v;
pG->edgnum = e; // 初始化"顶点" for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
{ printf("vertex(%d): ", i);
pG->vexs[i] = read_char();
} // 1. 初始化"边"的权值 for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
{ for (j = 0; j < pG->vexnum; j++)
{ if (i==j)
pG->matrix[i][j] = 0; else pG->matrix[i][j] = INF;
}
} // 2. 初始化"边"的权值: 根据用户的输入进行初始化 for (i = 0; i < pG->edgnum; i++)
{ // 读取边的起始顶点，结束顶点，权值 printf("edge(%d):", i);
c1 = read_char();
c2 = read_char(); scanf("%d", &weight);
p1 = get_position(*pG, c1);
p2 = get_position(*pG, c2); if (p1==-1 || p2==-1)
{ printf("input error: invalid edge!\n"); free(pG); return NULL;
}
pG->matrix[p1][p2] = weight;
pG->matrix[p2][p1] = weight;
} return pG;
} /*
* 创建图(用已提供的矩阵)
*/ Graph* create_example_graph()
{ char vexs[] = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; int matrix[][9] = { /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/ /*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14}, /*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF}, /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF}, /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF}, /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8}, /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9}, /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}}; int vlen = LENGTH(vexs); int i, j;
Graph* pG; // 输入"顶点数"和"边数" if ((pG=(Graph*)malloc(sizeof(Graph))) == NULL ) return NULL; memset(pG, 0, sizeof(Graph)); // 初始化"顶点数" pG->vexnum = vlen; // 初始化"顶点" for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
pG->vexs[i] = vexs[i]; // 初始化"边" for (i = 0; i < pG->vexnum; i++) for (j = 0; j < pG->vexnum; j++)
pG->matrix[i][j] = matrix[i][j]; // 统计边的数目 for (i = 0; i < pG->vexnum; i++) for (j = 0; j < pG->vexnum; j++) if (i!=j && pG->matrix[i][j]!=INF)
pG->edgnum++;
pG->edgnum /= 2; return pG;
} /*
* 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
*/ static int first_vertex(Graph G, int v)
{ int i; if (v<0 || v>(G.vexnum-1)) return -1; for (i = 0; i < G.vexnum; i++) if (G.matrix[v][i]!=0 && G.matrix[v][i]!=INF) return i; return -1;
} /*
* 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
*/ static int next_vertix(Graph G, int v, int w)
{ int i; if (v<0 || v>(G.vexnum-1) || w<0 || w>(G.vexnum-1)) return -1; for (i = w + 1; i < G.vexnum; i++) if (G.matrix[v][i]!=0 && G.matrix[v][i]!=INF) return i; return -1;
} /*
* 深度优先搜索遍历图的递归实现
*/ static void DFS(Graph G, int i, int *visited)
{ int w;
visited[i] = 1; printf("%c ", G.vexs[i]); // 遍历该顶点的所有邻接顶点。若是没有访问过，那么继续往下走 for (w = first_vertex(G, i); w >= 0; w = next_vertix(G, i, w))
{ if (!visited[w])
DFS(G, w, visited);
}
} /*
* 深度优先搜索遍历图
*/ void DFSTraverse(Graph G)
{ int i; int visited[MAX]; // 顶点访问标记 // 初始化所有顶点都没有被访问 for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
visited[i] = 0; printf("DFS: "); for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{ //printf("\n== LOOP(%d)\n", i); if (!visited[i])
DFS(G, i, visited);
} printf("\n");
} /*
* 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）
*/ void BFS(Graph G)
{ int head = 0; int rear = 0; int queue[MAX]; // 辅组队列 int visited[MAX]; // 顶点访问标记 int i, j, k; for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
visited[i] = 0; printf("BFS: "); for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{ if (!visited[i])
{
visited[i] = 1; printf("%c ", G.vexs[i]); queue[rear++] = i; // 入队列 } while (head != rear)
{
j = queue[head++]; // 出队列 for (k = first_vertex(G, j); k >= 0; k = next_vertix(G, j, k)) //k是为访问的邻接顶点 { if (!visited[k])
{
visited[k] = 1; printf("%c ", G.vexs[k]); queue[rear++] = k;
}
}
}
} printf("\n");
} /*
* 打印矩阵队列图
*/ void print_graph(Graph G)
{ int i,j; printf("Martix Graph:\n"); for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{ for (j = 0; j < G.vexnum; j++) printf("%10d ", G.matrix[i][j]); printf("\n");
}
} /*
* prim最小生成树
*
* 参数说明：
* G -- 邻接矩阵图
* start -- 从图中的第start个元素开始，生成最小树
*/ void prim(Graph G, int start)
{ int min,i,j,k,m,n,sum; int index=0; // prim最小树的索引，即prims数组的索引 char prims[MAX]; // prim最小树的结果数组 int weights[MAX]; // 顶点间边的权值 // prim最小生成树中第一个数是"图中第start个顶点"，因为是从start开始的。 prims[index++] = G.vexs[start]; // 初始化"顶点的权值数组"， // 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。 for (i = 0; i < G.vexnum; i++ )
weights[i] = G.matrix[start][i]; // 将第start个顶点的权值初始化为0。 // 可以理解为"第start个顶点到它自身的距离为0"。 weights[start] = 0; for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{ // 由于从start开始的，因此不需要再对第start个顶点进行处理。 if(start == i) continue;
j = 0;
k = 0;
min = INF; // 在未被加入到最小生成树的顶点中，找出权值最小的顶点。 while (j < G.vexnum)
{ // 若weights[j]=0，意味着"第j个节点已经被排序过"(或者说已经加入了最小生成树中)。 if (weights[j] != 0 && weights[j] < min)
{
min = weights[j];
k = j;
}
j++;
} // 经过上面的处理后，在未被加入到最小生成树的顶点中，权值最小的顶点是第k个顶点。 // 将第k个顶点加入到最小生成树的结果数组中 prims[index++] = G.vexs[k]; // 将"第k个顶点的权值"标记为0，意味着第k个顶点已经排序过了(或者说已经加入了最小树结果中)。 weights[k] = 0; // 当第k个顶点被加入到最小生成树的结果数组中之后，更新其它顶点的权值。 for (j = 0 ; j < G.vexnum; j++)
{ // 当第j个节点没有被处理，并且需要更新时才被更新。 if (weights[j] != 0 && G.matrix[k][j] < weights[j])
weights[j] = G.matrix[k][j];
}
} // 计算最小生成树的权值 sum = 0; for (i = 1; i < index; i++)
{
min = INF; // 获取prims[i]在G中的位置 n = get_position(G, prims[i]); // 在vexs[0...i]中，找出到j的权值最小的顶点。 for (j = 0; j < i; j++)
{
m = get_position(G, prims[j]); if (G.matrix[m][n]// 打印最小生成树 printf("PRIM(%c)=%d: ", G.vexs[start], sum); for (i = 0; i < index; i++) printf("%c ", prims[i]); printf("\n");
} /*
* 获取图中的边
*/ EData* get_edges(Graph G)
{ int i,j; int index=0;
EData *edges;
edges = (EData*)malloc(G.edgnum*sizeof(EData)); for (i=0;i < G.vexnum;i++)
{ for (j=i+1;j < G.vexnum;j++)
{ if (G.matrix[i][j]!=INF)
{
edges[index].start = G.vexs[i];
edges[index].end = G.vexs[j];
edges[index].weight = G.matrix[i][j];
index++;
}
}
} return edges;
} /*
* 对边按照权值大小进行排序(由小到大)
*/ void sorted_edges(EData* edges, int elen)
{ int i,j; for (i=0; ifor (j=i+1; jif (edges[i].weight > edges[j].weight)
{ // 交换"第i条边"和"第j条边" EData tmp = edges[i];
edges[i] = edges[j];
edges[j] = tmp;
}
}
}
} /*
* 获取i的终点
*/ int get_end(int vends[], int i)
{ while (vends[i] != 0)
i = vends[i]; return i;
} /*
* 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树
*/ void kruskal(Graph G)
{ int i,m,n,p1,p2; int length; int index = 0; // rets数组的索引 int vends[MAX]={0}; // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。 EData rets[MAX]; // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边 EData *edges; // 图对应的所有边 // 获取"图中所有的边" edges = get_edges(G); // 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大) sorted_edges(edges, G.edgnum); for (i=0; i// 获取第i条边的"起点"的序号 p2 = get_position(G, edges[i].end); // 获取第i条边的"终点"的序号 m = get_end(vends, p1); // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点 n = get_end(vends, p2); // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点 // 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路 if (m != n)
{
vends[m] = n; // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n rets[index++] = edges[i]; // 保存结果 }
} free(edges); // 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息 length = 0; for (i = 0; i < index; i++)
length += rets[i].weight; printf("Kruskal=%d: ", length); for (i = 0; i < index; i++) printf("(%c,%c) ", rets[i].start, rets[i].end); printf("\n");
} /*
* Dijkstra最短路径。
* 即，统计图(G)中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。
*
* 参数说明：
* G -- 图
* vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。
* prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
* dist -- 长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。
*/ void dijkstra(Graph G, int vs, int prev[], int dist[])
{ int i,j,k; int min; int tmp; int flag[MAX]; // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。 // 初始化 for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
flag[i] = 0; // 顶点i的最短路径还没获取到。 prev[i] = 0; // 顶点i的前驱顶点为0。 dist[i] = G.matrix[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。 } // 对"顶点vs"自身进行初始化 flag[vs] = 1;
dist[vs] = 0; // 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。 for (i = 1; i < G.vexnum; i++)
{ // 寻找当前最小的路径； // 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(k)。 min = INF; for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
{ if (flag[j]==0 && dist[j]// 标记"顶点k"为已经获取到最短路径 flag[k] = 1; // 修正当前最短路径和前驱顶点 // 即，当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。 for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
{
tmp = (G.matrix[k][j]==INF ? INF : (min + G.matrix[k][j])); // 防止溢出 if (flag[j] == 0 && (tmp < dist[j]) )
{
dist[j] = tmp;
prev[j] = k;
}
}
} // 打印dijkstra最短路径的结果 printf("dijkstra(%c): \n", G.vexs[vs]); for (i = 0; i < G.vexnum; i++) printf(" shortest(%c, %c)=%d\n", G.vexs[vs], G.vexs[i], dist[i]);
} void main()
{ int prev[MAX] = {0}; int dist[MAX] = {0};
Graph* pG; // 自定义"图"(输入矩阵队列) //pG = create_graph(); // 采用已有的"图" pG = create_example_graph(); //print_graph(*pG); // 打印图 //DFSTraverse(*pG); // 深度优先遍历 //BFS(*pG); // 广度优先遍历 //prim(*pG, 0); // prim算法生成最小生成树 //kruskal(*pG); // kruskal算法生成最小生成树 // dijkstra算法获取"第4个顶点"到其它各个顶点的最短距离 dijkstra(*pG, 3, prev, dist);
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/**
* C: Dijkstra算法获取最短路径(邻接表)
*
* @author skywang
* @date 2014/04/24
*/ #include if(G.vexs[i].data==ch) return i; return -1;
} /*
* 读取一个输入字符
*/ static char read_char()
{ char ch; do {
ch = getchar();
} while(!isLetter(ch)); return ch;
} /*
* 将node链接到list的末尾
*/ static void link_last(ENode *list, ENode *node)
{
ENode *p = list; while(p->next_edge)
p = p->next_edge;
p->next_edge = node;
} /*
* 创建邻接表对应的图(自己输入)
*/ LGraph* create_lgraph()
{ char c1, c2; int v, e; int i, p1, p2; int weight;
ENode *node1, *node2;
LGraph* pG; // 输入"顶点数"和"边数" printf("input vertex number: "); scanf("%d", &v); printf("input edge number: "); scanf("%d", &e); if ( v < 1 || e < 1 || (e > (v * (v-1))))
{ printf("input error: invalid parameters!\n"); return NULL;
} if ((pG=(LGraph*)malloc(sizeof(LGraph))) == NULL ) return NULL; memset(pG, 0, sizeof(LGraph)); // 初始化"顶点数"和"边数" pG->vexnum = v;
pG->edgnum = e; // 初始化"邻接表"的顶点 for(i=0; ivexnum; i++)
{ printf("vertex(%d): ", i);
pG->vexs[i].data = read_char();
pG->vexs[i].first_edge = NULL;
} // 初始化"邻接表"的边 for(i=0; iedgnum; i++)
{ // 读取边的起始顶点,结束顶点,权 printf("edge(%d): ", i);
c1 = read_char();
c2 = read_char(); scanf("%d", &weight);
p1 = get_position(*pG, c1);
p2 = get_position(*pG, c2); // 初始化node1 node1 = (ENode*)malloc(sizeof(ENode));
node1->ivex = p2;
node1->weight = weight; // 将node1链接到"p1所在链表的末尾" if(pG->vexs[p1].first_edge == NULL)
pG->vexs[p1].first_edge = node1; else link_last(pG->vexs[p1].first_edge, node1); // 初始化node2 node2 = (ENode*)malloc(sizeof(ENode));
node2->ivex = p1;
node2->weight = weight; // 将node2链接到"p2所在链表的末尾" if(pG->vexs[p2].first_edge == NULL)
pG->vexs[p2].first_edge = node2; else link_last(pG->vexs[p2].first_edge, node2);
} return pG;
} // 边的结构体 typedef struct _edata
{ char start; // 边的起点 char end; // 边的终点 int weight; // 边的权重 }EData; // 顶点 static char gVexs[] = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; // 边 static EData gEdges[] = { // 起点 终点 权 {'A', 'B', 12},
{'A', 'F', 16},
{'A', 'G', 14},
{'B', 'C', 10},
{'B', 'F', 7},
{'C', 'D', 3},
{'C', 'E', 5},
{'C', 'F', 6},
{'D', 'E', 4},
{'E', 'F', 2},
{'E', 'G', 8},
{'F', 'G', 9},
}; /*
* 创建邻接表对应的图(用已提供的数据)
*/ LGraph* create_example_lgraph()
{ char c1, c2; int vlen = LENGTH(gVexs); int elen = LENGTH(gEdges); int i, p1, p2; int weight;
ENode *node1, *node2;
LGraph* pG; if ((pG=(LGraph*)malloc(sizeof(LGraph))) == NULL ) return NULL; memset(pG, 0, sizeof(LGraph)); // 初始化"顶点数"和"边数" pG->vexnum = vlen;
pG->edgnum = elen; // 初始化"邻接表"的顶点 for(i=0; ivexnum; i++)
{
pG->vexs[i].data = gVexs[i];
pG->vexs[i].first_edge = NULL;
} // 初始化"邻接表"的边 for(i=0; iedgnum; i++)
{ // 读取边的起始顶点,结束顶点,权 c1 = gEdges[i].start;
c2 = gEdges[i].end;
weight = gEdges[i].weight;
p1 = get_position(*pG, c1);
p2 = get_position(*pG, c2); // 初始化node1 node1 = (ENode*)malloc(sizeof(ENode));
node1->ivex = p2;
node1->weight = weight; // 将node1链接到"p1所在链表的末尾" if(pG->vexs[p1].first_edge == NULL)
pG->vexs[p1].first_edge = node1; else link_last(pG->vexs[p1].first_edge, node1); // 初始化node2 node2 = (ENode*)malloc(sizeof(ENode));
node2->ivex = p1;
node2->weight = weight; // 将node2链接到"p2所在链表的末尾" if(pG->vexs[p2].first_edge == NULL)
pG->vexs[p2].first_edge = node2; else link_last(pG->vexs[p2].first_edge, node2);
} return pG;
} /*
* 深度优先搜索遍历图的递归实现
*/ static void DFS(LGraph G, int i, int *visited)
{ int w;
ENode *node;
visited[i] = 1; printf("%c ", G.vexs[i].data);
node = G.vexs[i].first_edge; while (node != NULL)
{ if (!visited[node->ivex])
DFS(G, node->ivex, visited);
node = node->next_edge;
}
} /*
* 深度优先搜索遍历图
*/ void DFSTraverse(LGraph G)
{ int i; int visited[MAX]; // 顶点访问标记 // 初始化所有顶点都没有被访问 for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
visited[i] = 0; printf("DFS: "); for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{ if (!visited[i])
DFS(G, i, visited);
} printf("\n");
} /*
* 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）
*/ void BFS(LGraph G)
{ int head = 0; int rear = 0; int queue[MAX]; // 辅组队列 int visited[MAX]; // 顶点访问标记 int i, j, k;
ENode *node; for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
visited[i] = 0; printf("BFS: "); for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{ if (!visited[i])
{
visited[i] = 1; printf("%c ", G.vexs[i].data); queue[rear++] = i; // 入队列 } while (head != rear)
{
j = queue[head++]; // 出队列 node = G.vexs[j].first_edge; while (node != NULL)
{
k = node->ivex; if (!visited[k])
{
visited[k] = 1; printf("%c ", G.vexs[k].data); queue[rear++] = k;
}
node = node->next_edge;
}
}
} printf("\n");
} /*
* 打印邻接表图
*/ void print_lgraph(LGraph G)
{ int i,j;
ENode *node; printf("List Graph:\n"); for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{ printf("%d(%c): ", i, G.vexs[i].data);
node = G.vexs[i].first_edge; while (node != NULL)
{ printf("%d(%c) ", node->ivex, G.vexs[node->ivex].data);
node = node->next_edge;
} printf("\n");
}
} /*
* 获取G中边的权值；若start和end不是连通的，则返回无穷大。
*/ int get_weight(LGraph G, int start, int end)
{
ENode *node; if (start==end) return 0;
node = G.vexs[start].first_edge; while (node!=NULL)
{ if (end==node->ivex) return node->weight;
node = node->next_edge;
} return INF;
} /*
* prim最小生成树
*
* 参数说明：
* G -- 邻接表图
* start -- 从图中的第start个元素开始，生成最小树
*/ void prim(LGraph G, int start)
{ int min,i,j,k,m,n,tmp,sum; int index=0; // prim最小树的索引，即prims数组的索引 char prims[MAX]; // prim最小树的结果数组 int weights[MAX]; // 顶点间边的权值 // prim最小生成树中第一个数是"图中第start个顶点"，因为是从start开始的。 prims[index++] = G.vexs[start].data; // 初始化"顶点的权值数组"， // 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。 for (i = 0; i < G.vexnum; i++ )
weights[i] = get_weight(G, start, i); for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{ // 由于从start开始的，因此不需要再对第start个顶点进行处理。 if(start == i) continue;
j = 0;
k = 0;
min = INF; // 在未被加入到最小生成树的顶点中，找出权值最小的顶点。 while (j < G.vexnum)
{ // 若weights[j]=0，意味着"第j个节点已经被排序过"(或者说已经加入了最小生成树中)。 if (weights[j] != 0 && weights[j] < min)
{
min = weights[j];
k = j;
}
j++;
} // 经过上面的处理后，在未被加入到最小生成树的顶点中，权值最小的顶点是第k个顶点。 // 将第k个顶点加入到最小生成树的结果数组中 prims[index++] = G.vexs[k].data; // 将"第k个顶点的权值"标记为0，意味着第k个顶点已经排序过了(或者说已经加入了最小树结果中)。 weights[k] = 0; // 当第k个顶点被加入到最小生成树的结果数组中之后，更新其它顶点的权值。 for (j = 0 ; j < G.vexnum; j++)
{ // 获取第k个顶点到第j个顶点的权值 tmp = get_weight(G, k, j); // 当第j个节点没有被处理，并且需要更新时才被更新。 if (weights[j] != 0 && tmp < weights[j])
weights[j] = tmp;
}
} // 计算最小生成树的权值 sum = 0; for (i = 1; i < index; i++)
{
min = INF; // 获取prims[i]在G中的位置 n = get_position(G, prims[i]); // 在vexs[0...i]中，找出到j的权值最小的顶点。 for (j = 0; j < i; j++)
{
m = get_position(G, prims[j]);
tmp = get_weight(G, m, n); if (tmp < min)
min = tmp;
}
sum += min;
} // 打印最小生成树 printf("PRIM(%c)=%d: ", G.vexs[start].data, sum); for (i = 0; i < index; i++) printf("%c ", prims[i]); printf("\n");
} /*
* 获取图中的边
*/ EData* get_edges(LGraph G)
{ int i,j; int index=0;
ENode *node;
EData *edges;
edges = (EData*)malloc(G.edgnum*sizeof(EData)); for (i=0; iwhile (node != NULL)
{ if (node->ivex > i)
{
edges[index].start = G.vexs[i].data; // 起点 edges[index].end = G.vexs[node->ivex].data; // 终点 edges[index].weight = node->weight; // 权 index++;
}
node = node->next_edge;
}
} return edges;
} /*
* 对边按照权值大小进行排序(由小到大)
*/ void sorted_edges(EData* edges, int elen)
{ int i,j; for (i=0; ifor (j=i+1; jif (edges[i].weight > edges[j].weight)
{ // 交换"第i条边"和"第j条边" EData tmp = edges[i];
edges[i] = edges[j];
edges[j] = tmp;
}
}
}
} /*
* 获取i的终点
*/ int get_end(int vends[], int i)
{ while (vends[i] != 0)
i = vends[i]; return i;
} /*
* 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树
*/ void kruskal(LGraph G)
{ int i,m,n,p1,p2; int length; int index = 0; // rets数组的索引 int vends[MAX]={0}; // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。 EData rets[MAX]; // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边 EData *edges; // 图对应的所有边 // 获取"图中所有的边" edges = get_edges(G); // 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大) sorted_edges(edges, G.edgnum); for (i=0; i// 获取第i条边的"起点"的序号 p2 = get_position(G, edges[i].end); // 获取第i条边的"终点"的序号 m = get_end(vends, p1); // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点 n = get_end(vends, p2); // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点 // 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路 if (m != n)
{
vends[m] = n; // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n rets[index++] = edges[i]; // 保存结果 }
} free(edges); // 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息 length = 0; for (i = 0; i < index; i++)
length += rets[i].weight; printf("Kruskal=%d: ", length); for (i = 0; i < index; i++) printf("(%c,%c) ", rets[i].start, rets[i].end); printf("\n");
} /*
* Dijkstra最短路径。
* 即，统计图(G)中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。
*
* 参数说明：
* G -- 图
* vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。
* prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
* dist -- 长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。
*/ void dijkstra(LGraph G, int vs, int prev[], int dist[])
{ int i,j,k; int min; int tmp; int flag[MAX]; // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。 // 初始化 for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
flag[i] = 0; // 顶点i的最短路径还没获取到。 prev[i] = 0; // 顶点i的前驱顶点为0。 dist[i] = get_weight(G, vs, i); // 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。 } // 对"顶点vs"自身进行初始化 flag[vs] = 1;
dist[vs] = 0; // 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。 for (i = 1; i < G.vexnum; i++)
{ // 寻找当前最小的路径； // 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(k)。 min = INF; for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
{ if (flag[j]==0 && dist[j]// 标记"顶点k"为已经获取到最短路径 flag[k] = 1; // 修正当前最短路径和前驱顶点 // 即，当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。 for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
{
tmp = get_weight(G, k, j);
tmp = (tmp==INF ? INF : (min + tmp)); // 防止溢出 if (flag[j] == 0 && (tmp < dist[j]) )
{
dist[j] = tmp;
prev[j] = k;
}
}
} // 打印dijkstra最短路径的结果 printf("dijkstra(%c): \n", G.vexs[vs].data); for (i = 0; i < G.vexnum; i++) printf(" shortest(%c, %c)=%d\n", G.vexs[vs].data, G.vexs[i].data, dist[i]);
} void main()
{ int prev[MAX] = {0}; int dist[MAX] = {0};
LGraph* pG; // 自定义"图"(自己输入数据) //pG = create_lgraph(); // 采用已有的"图" pG = create_example_lgraph(); //print_lgraph(*pG); // 打印图 //DFSTraverse(*pG); // 深度优先遍历 //BFS(*pG); // 广度优先遍历 //prim(*pG, 0); // prim算法生成最小生成树 //kruskal(*pG); // kruskal算法生成最小生成树 // dijkstra算法获取"第4个顶点"到其它各个顶点的最短距离 dijkstra(*pG, 3, prev, dist);
}
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