数学活动

　　究竟什么是“数学活动”的基本形式或具体内涵?读者特别是一线教师或许可以首先尝试着对这一问题作出自己的解答。

　　相信很多数学教师都会给出一种解答：观察、实验、总结、归纳、证明。但是，我们又只需与著名数学家的相关论述作一对照就可立即看出这种解答是过于狭窄了，特别是未能很好地体现“数学活动”相对于一般“科学活动”的特殊性。以下就是人们经常提到的一些论述：“模式的建构与研究”(L.Steen)，“数学化、公理化与形式化”(弗赖登塔尔)，“问题解决”(波利亚)，“抽象、证明与应用”(亚历山大洛夫)，等等。这些论述从总体上说

　　清楚地表明了数学活动的复杂性和多元性，由此可以得出的一个直接结论就是：将“数学活动”简单等同于某种具体的数学活动，无论这是指外部的操作性活动，也即所谓的“动手实践”，或是指归纳与演绎这样的逻辑思维活动，乃至别的什么活动，都是不够恰当的。

　　当然，相对于抽象的论述而言，更为重要的又在于我们如何能够通过实际参与数学活动获得这方面的直接体验。

　　由台湾学者黄敏晃教授提供的以下实例(《"AK‘鸽笼原理’谈起”》③)可以看成这方面的一个积极努力：在小学数学教师的一个进修班上，学员被要求通过小组合作求解如下问题：如何利用“鸽笼原理”证明：“从l，2，3，…2n这些自然数中，任取n+1个数，其中必有两个数互质”。以下就是这些学员在当时所从事的一些具体活动：

　　(1)特殊化。如令n=3，并就这一实例对结论进行验证。(2)猜想与证明。正是通过实例的具体考察，他们发现了“两数互质”的一些具体类型，如“两个连续的自然数互质”，并且他们对结论的正确性进行了证明。(3)分析、聚焦、解决问题。通过分析，他们又认识到了，为了解决原来的问题，还需要证明所有的取法都可以归结为上述类型，包括如何能够利用“鸽笼原理”去进行证明。(4)反思与推广。即作出如下的推广：“从任意一个自然数a开始，连续罗列2n个数：a，a+l，a+2，a+3，…a+2n-1。在这些自然数中任取n+1个数，其中必有两个数互质。”