无界背包问题

无界背包问题

如果重量w₁, ..., w_n和W都是非负的，那么用动态规划，可以用伪多项式时间解决背包问题。下面描述了无界背包问题的解法。

简便起见，我们假定重量都是正的（w_j > 0）。在总重量不超过W的前提下，我们希望总价格最高。对于Y ≤ W，我们将在总重量不超过Y的前提下，总价格所能达到的最高值定义为A(Y)。A(W)即为问题的答案。

显然，A(Y)满足：

• A(0) = 0
• A(Y) = max { A(Y - 1), max { p_j + A(Y - w_j) | w_j ≤ Y } }

其中，p_j为第j种物品的价格。

如果总重量为0，总价值也为0。然后依次计算A(0), A(1), ..., A(W)，并把每一步骤的结果存入表中供后续步骤使用，完成这些步骤后A(W)即为最终结果。由于每次计算A(Y)都需要检查n种物品，并且需要计算W个A(Y)值，因此动态规划解法的时间复杂度为O(nW)。如果把w₁, ..., w_n, W都除以它们的最大公因数，算法的时间将得到很大的提升。

尽管背包问题的时间复杂度为O(nW)，但它仍然是一个NP完全问题。这是因为W同问题的输入大小并不成线性关系。原因在于问题的输入大小仅仅取决于表达输入所需的比特数。事实上，log W，即表达W所需的比特数，同问题的输入长度成线性关系。