SPFA算法

SPFA算法

　　求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。
　　SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的.
　　从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。
　　很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。
　　简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。
　　我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼 近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作， 如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
　　定理: 只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。
　　证明：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路 径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着 d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）
　　期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。
　　实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点，在建立一个表格记录起始点到所有点的最短路 径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点 不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空
　　判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

期望的时间复杂度O(2e)
　　
　　对spfa的一个很直观的理解就是由无权图的bfs转化而来.在无权图中,bfs首先到达的顶 点所经历的路径一定是最短路(也就是经过的最少顶点数).所以此时利用visit[u],可以使每个顶点只进队一次.在带权图中,最先到达的顶点所计算出 来的路径不一定是最短路.一个解决方法是放弃visit数组,此时所需时间自然就是指数级的.所以我们不能放弃visit数组,而是在处理一个已经在队列 中且当前所得的路径比原来更好的顶点时,直接更新最优解.

标准SPFA过程

　　#include
　　#define maxint 2139062143
　　int a[101][101],dist[101],n;
　　void spfa(int s)
　　{
    　　int q[101],v[101],h=0,t=1,x,i;//q为队列,v为Boolean数组,表示结点是否在队列中,h为头指针,t为尾指针
    　　memset(q,0,sizeof(q));
    　　memset(v,0,sizeof(v));
    　　memset(dist,127,sizeof(dist));//置dist数组为maxint(+∞),下同
    　　dist[s]=0;
    　　q[t]=s;v[s]=1;
    　　while(h!=t)//本来是h    　　{
        　　h=(h+1)%(n+1);//这里不能%n否则队满和队空状态一样
        　　x=q[h];
        　　v[x]=0;
        　　for(i=1;i<=n;i++)
            　　if(dist[i]-a[x][i]>dist[x])//这里本来为dist[i]>dist[x]+a[x][i],但这样会越界的,因为后两者加起来太大
            　　{
                　　dist[i]=dist[x]+a[x][i];
                　　if(!v[i])
                　　{
                　　    t=(t+1)%(n+1)/*同上*/;q[t]=i;v[i]=1;
                　　}
            　　}
    　　}
　　}
　　int main()
　　{
    　　int m,s,t,i;
    　　scanf("%d%d",&n,&m);
    　　scanf("%d%d",&s,&t);
    　　memset(a,127,sizeof(a));
    　　for(i=1;i<=m;i++)
    　　{
        　　int x,y,z;
        　　scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        　　a[x][y]=z;
        　　a[y][x]=z;
    　　}
    　　spfa(s);
    　　printf("%d",dist[t]);
    　　system("pause");
    　　return 0;
　　}