线性代数入门(1) - 什么是线性代数？

线性代数几乎是每个学理工科的大学生都会学的一门课，然而我感觉大家对这门课的感觉都不怎么好，很多人都觉得不知道线性代数是做什么的，或者为了应付考试学会了一些计算和解题的方法。但在其他课程学习中却常常看到那些矩阵、向量等等，便头疼万分，对线性代数更是深恶痛绝。最后一个大学学下来，还是没明白线性代数是什么东西，更别说去用其中的方法了。所以我一直想写一些关于线性代数的东西，说说自己的理解，一者给自己整理整理思路，二者或许能给一些恰好看到的朋友们一些启发。学疏才浅，自己也只是一知半解，大家多多包涵。

说了那么多废话，到底什么是线性代数呢？实际上我们在中学里就早已经学过了。只是我们没用那些神秘的符号，而很多大学的老师只照着课本讲了一遍，反倒让大家把线性代数里最最原始和简单的东西给丢掉了，以至于觉得线性代数很难，不知所云。

相信大家在中学里一定会解方程吧？还记得多元一次方程吗？会解这些方程，就一定能很快学会线性代数。因为这两者描述的原本就是同一个事物，只是用了不同的语言而已。

让我们从最简单的方程看起：ax=b
其中x是变量，a和b是常量。这个方程人人会解，大家都知道x=b/a，当然，前提条件是a不等于0。
如果要总结一下这个方程的解，应该是这个样子：
x=⎧⎩⎨⎪⎪nosolutionanyvalueb/aa=0andb≠0a=0andb=0a≠0

这个是一元一次方程，也就是线性代数最简单的原型，这个和我们的矩阵似乎是风马牛不相及的东西，然而这却是是最简单的形式，那些复杂的情况我们也希望能变成这样的形式，一切就将是统一、简单和漂亮的。

让我们增加一些未知数。我们还是秉承简单的原则，来看一个二元一次方程组。
{2x1+3x24x1+5x2713

如果你还记得怎么求解二元一次方程组的话（还记得加减消元法和代入消元法吗？），很容易可以求出x1=2,x2=1
对于三元一次方程组，甚至于更多元的方程组，估计求解起来就要复杂一些。其实，加减消元法和代入消元法这两招就足够解决它们，只是，如果我们能有一个标准的算法来求解就可以少走很多冤枉路，很快得到结果。后面，我们会有机会去使用这个解法，一个用一位伟大数学家名字命名的解法。

说了那么久的解方程，还是没有看到线性代数在哪里。那好，我们现在要变一个魔术。刚才，对于不同的未知数个数，我们分别有一个名字：一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组……现在我们给他们统一一个名字：线性方程组。看到一点线性代数的影子了吗？很好，就在于“线性”两个字，这里的未知数都是一次的。事实上，线性方程组里就包含了线性代数大部分的内容。线性代数就是那么简单，再重复一下，线性代数——线性方程组。