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2011-05-22 22:04:32

线性代数几乎是每个学理工科的大学生都会学的一门课,然而我感觉大家对这门课的感觉都不怎么好,很多人都觉得不知道线性代数是做什么的,或者为了应付考试学会了一些计算和解题的方法。但在其他课程学习中却常常看到那些矩阵、向量等等,便头疼万分,对线性代数更是深恶痛绝。最后一个大学学下来,还是没明白线性代数是什么东西,更别说去用其中的方法了。所以我一直想写一些关于线性代数的东西,说说自己的理解,一者给自己整理整理思路,二者或许能给一些恰好看到的朋友们一些启发。学疏才浅,自己也只是一知半解,大家多多包涵。

说了那么多废话,到底什么是线性代数呢?实际上我们在中学里就早已经学过了。只是我们没用那些神秘的符号,而很多大学的老师只照着课本讲了一遍,反倒让大家把线性代数里最最原始和简单的东西给丢掉了,以至于觉得线性代数很难,不知所云。

相信大家在中学里一定会解方程吧?还记得多元一次方程吗?会解这些方程,就一定能很快学会线性代数。因为这两者描述的原本就是同一个事物,只是用了不同的语言而已。

让我们从最简单的方程看起:ax=b
其中x是变量,a和b是常量。这个方程人人会解,大家都知道x=b/a,当然,前提条件是a不等于0。
如果要总结一下这个方程的解,应该是这个样子:
x=nosolutionanyvalueb/aa=0andb0a=0andb=0a0

这个是一元一次方程,也就是线性代数最简单的原型,这个和我们的矩阵似乎是风马牛不相及的东西,然而这却是是最简单的形式,那些复杂的情况我们也希望能变成这样的形式,一切就将是统一、简单和漂亮的。

让我们增加一些未知数。我们还是秉承简单的原则,来看一个二元一次方程组。
{2x1+3x24x1+5x2713

如果你还记得怎么求解二元一次方程组的话(还记得加减消元法和代入消元法吗?),很容易可以求出x1=2,x2=1
对于三元一次方程组,甚至于更多元的方程组,估计求解起来就要复杂一些。其实,加减消元法和代入消元法这两招就足够解决它们,只是,如果我们能有一个标准的算法来求解就可以少走很多冤枉路,很快得到结果。后面,我们会有机会去使用这个解法,一个用一位伟大数学家名字命名的解法。

说了那么久的解方程,还是没有看到线性代数在哪里。那好,我们现在要变一个魔术。刚才,对于不同的未知数个数,我们分别有一个名字:一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组……现在我们给他们统一一个名字:线性方程组。看到一点线性代数的影子了吗?很好,就在于“线性”两个字,这里的未知数都是一次的。事实上,线性方程组里就包含了线性代数大部分的内容。线性代数就是那么简单,再重复一下,线性代数——线性方程组。

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