第40课

绳子的模拟: 怎样模拟一根绳子呢，把它想象成一个个紧密排列的点，怎么样有了思路了吧，在这一课你你将学会怎样建模，简单吧，你能模拟更多。

绳索模拟 在这个教程里我们将模拟一段绳索，我们是在39课的基础上进行的。 在物理模拟中，我们必须设置各个物理量，就像它们在自然界中的行为一样。模拟中的运动并不一定和自然界相同，我们使用的运动模型，必须和我们需要模拟的目 的有关，目的决定了它的精确度。要知道我们的目标不是模拟原子和分子，也不是模拟成千上万的粒子系。首先我们需要确定我们模拟的目标，才能创建我们的物理 模型。它和下面内容相关： 1. 运动的数学表示 2. 执行模拟的计算机的速度 1. 运动的数学表示: 这个问题决定了我们使用何种数学方程来模拟运动，使用经典力学还是量子力学。 2. 执行模拟的计算机的速度: 计算机的速度决定了我们可以模拟的精度。 设计绳索的物理模型: 我们在经典力学和高于500Mhz的计算机上模拟这个问题。首先我们需要设定需要的精度，我们使用一系列互相用弹簧连接的质点来模拟绳索，精度决定了我们 用多少个点来模拟，当然越多越精确。在下面我决定用50或100个点来模拟绳子一段3或4m长的绳子，换句话说，我们的模拟精度就是3到8厘米。 设计运动模型: 在绳子中，施加给各个质点的力来自于自身的质量和相连的内力（参见大学里的普通力学）。如下我们用"O"表示质点，“—”表示连接质点的弹簧。 O----O----O----O 1 2 3 4 弹簧的力学公式如下: 力 = -k * x k: 弹性系数 x: 相距平衡位置的位移 上面的公式说明，如果相邻点的距离为平衡距离，那么它们不受到任何力的作用。如果我们设置平衡位置为5cm，那么100个点的绳子长5m。如果相连质点之间的位置小于5cm，它们受到排斥力。 上面的公式只是一个基础，现在我们可以加上摩擦力，如果没有这项，那么绳子将永远动下去。 弹簧类: 这个类包含相连接的两个物体，它们之间具有作用力。

class Spring									
{										
public:
	Mass* mass1;								// 质点1
	Mass* mass2;								// 质点2

	float springConstant;							// 弹性系数
	float springLength;							//弹簧长度 
	float frictionConstant;							//摩擦系数

	Spring(Mass* mass1, Mass* mass2,
		// 构造函数
		float springConstant, float springLength, float frictionConstant)
	{
		this->springConstant = springConstant;			
		this->springLength = springLength;				
		this->frictionConstant = frictionConstant;			

		this->mass1 = mass1;						
		this->mass2 = mass2;						
	}

	void solve()								// 计算各个物体的受力
	{
		Vector3D springVector = mass1->pos - mass2->pos;		
		
		float r = springVector.length();					// 计算两个物体之间的距离

		Vector3D force;							
		
		if (r != 0)							// 计算力
			force += -(springVector / r) * (r - springLength) * springConstant;
		...

		force += -(mass1->vel - mass2->vel) * frictionConstant;		// 加上摩擦力
		mass1->applyForce(force);						// 给物体1施加力
		mass2->applyForce(-force);						// 给物体2施加力
	}									

下面我们把绳子钉在墙上，所以我们的模拟就多了一个万有引力，空气摩擦力。万有引力的公式如下：

力 = (重力加速度) * 质量

万有引力会作用在每一个质点上，地面也会给每个物体一个作用力。在我们的模型中将考虑绳子和地面之间的接触，地面给绳子向上的力，并提供摩擦力。

设置模拟的初始值

现在我们已经设置好模拟环境了，长度单位是m，时间单位是秒，质量单位是kg。

为了设置初始值，我们必须提供供模拟开始的参数。我们定义一下参数：

1. 重力加速度: 9.81 m/s/s 垂直向下
2. 质点个数: 80
3. 相连质点的距离: 5 cm (0.05 meters)
4. 质量: 50 克(0.05 kg)
5. 绳子开始处于垂直状态

下面计算绳子受到的力

f = (绳子质量) * (重力加速度) = (4 kg) * (9.81) ~= 40 N

弹簧必须平衡这个力 40 N，它伸长1cm，计算弹性系数:

合力= -k * x = -k * 0.01 m

合力应该为0 :

40 N + (-k * 0.01 meters) = 0

弹性系数 k 为:

k = 4000 N / m

设置弹簧的摩擦系数:

springFrictionConstant = 0.2 N/(m/s)

下面我们看看这个绳索类：

1. virtual void init()	--->	重置力
2. virtual void solve()	--->	计算各个质点的力
3. virtual void simulate(float dt)	--->	模拟一次
4. virtual void operate(float dt)	--->	执行一次操作

绳索类如下所示 :

class RopeSimulation : public Simulation					//绳索类
{
public:
	Spring** springs;							// 弹簧类结构的数组的指针

	Vector3D gravitation;						// 万有引力

	Vector3D ropeConnectionPos;						// 绳索的连接点
	
	Vector3D ropeConnectionVel;						//连接点的速度，我们使用这个移动绳子

	float groundRepulsionConstant;					//地面的反作用力
	
	float groundFrictionConstant;					//地面的摩擦系数
	
	float groundAbsorptionConstant;					//地面的缓冲力
	
	float groundHeight;						//地面高度

	float airFrictionConstant;						//空气的摩擦系数

下面是它的构造函数

	RopeSimulation(								
		int numOfMasses,					
		float m,							
		float springConstant,					
		float springLength,						
		float springFrictionConstant,					
		Vector3D gravitation,						
		float airFrictionConstant,				
		float groundRepulsionConstant,				
		float groundFrictionConstant,				
		float groundAbsorptionConstant,				
		float groundHeight						
		) : Simulation(numOfMasses, m)			
	{
		this->gravitation = gravitation;
		
		this->airFrictionConstant = airFrictionConstant;

		this->groundFrictionConstant = groundFrictionConstant;
		this->groundRepulsionConstant = groundRepulsionConstant;
		this->groundAbsorptionConstant = groundAbsorptionConstant;
		this->groundHeight = groundHeight;

		for (int a = 0; a < numOfMasses; ++a)				// 设置质点位置
		{
			masses[a]->pos.x = a * springLength;			
			masses[a]->pos.y = 0;					
			masses[a]->pos.z = 0;					
		}

		springs = new Spring*[numOfMasses - 1];			
		
		for (a = 0; a < numOfMasses - 1; ++a)				//创建各个质点之间的模拟弹簧
		{
			springs[a] = new Spring(masses[a], masses[a + 1], 
				springConstant, springLength, springFrictionConstant);
		}
	}

计算施加给各个质点的力

	void solve()								// 计算施加给各个质点的力
	{
		for (int a = 0; a < numOfMasses - 1; ++a)			// 弹簧施加给各个物体的力
		{
			springs[a]->solve();					
		}

		for (a = 0; a < numOfMasses; ++a)				// 计算各个物体受到的其它的力
		{
			masses[a]->applyForce(gravitation * masses[a]->m);	// 万有引力
			// 空气的摩擦力
			masses[a]->applyForce(-masses[a]->vel * airFrictionConstant);

			if (masses[a]->pos.y < groundHeight)			// 计算地面对质点的作用
			{
				Vector3D v;					

				v = masses[a]->vel;				// 返回速度
				v.y = 0;					// y方向的速度为0

		// 计算地面给质点的力
				masses[a]->applyForce(-v * groundFrictionConstant);

				v = masses[a]->vel;				
				v.x = 0;					
				v.z = 0;					

				if (v.y < 0)					// 计算地面的缓冲力

					masses[a]->applyForce(-v * groundAbsorptionConstant);
				
				// 计算地面的反作用力
				Vector3D force = Vector3D(0, groundRepulsionConstant, 0) * 
					(groundHeight - masses[a]->pos.y);

				masses[a]->applyForce(force);			// 施加地面对质点的力
			}
		}
	}

下面的代码完成整个模拟过程

	void simulate(float dt)						// 模拟一次
	{
		Simulation::simulate(dt);					// 调用基类的模拟函数

		ropeConnectionPos += ropeConnectionVel * dt;			// 计算绳子的连接点

		if (ropeConnectionPos.y < groundHeight)				
		{
			ropeConnectionPos.y = groundHeight;
			ropeConnectionVel.y = 0;
		}

		masses[0]->pos = ropeConnectionPos;				// 更新绳子的连接点和速度
		masses[0]->vel = ropeConnectionVel;				
	}

	void setRopeConnectionVel(Vector3D ropeConnectionVel)			
	{
		this->ropeConnectionVel = ropeConnectionVel;
	}

有了上面的类，我们可以很方便的模拟绳子，代码如下：

RopeSimulation* ropeSimulation =
	new RopeSimulation(
		80,								// 80 质点
		0.05f,								// 每个质点50g
		10000.0f,								// 弹性系数
		0.05f,								// 质点之间的距离
		0.2f,								// 弹簧的内摩擦力
		Vector3D(0, -9.81f, 0),						// 万有引力
		0.02f,								// 空气摩擦力
		100.0f,								// 地面反作用系数
		0.2f,								// 地面摩擦系数
		2.0f,								// 地面缓冲系数
		-1.5f);								// 地面高度

下面的代码在程序中执行绳子的模拟

float dt = milliseconds / 1000.0f;						// 经过的秒数

float maxPossible_dt = 0.002f;						// 模拟间隔

int numOfIterations = (int)(dt / maxPossible_dt) + 1;				// 模拟次数
if (numOfIterations != 0)							
	dt = dt / numOfIterations;						

for (int a = 0; a < numOfIterations; ++a)					// 执行模拟
	ropeSimulation->operate(dt);