浮点数 和 EPSILON （文章越写越啰嗦）

[2006-01-23补充] （本应写在文章后面）
To  反对者：
假设计算机用浮点数 a_f 来表示实数 a_v，计算机用浮点数 b_f 来表示实数表示 b_v。
c_f 是计算机 a_f 和 b_f 相乘的结果，c_v 是实数 a_v 和  b_v 相乘的结果。
照你所说，就应该是 if(  c_f ==  c_v ± EPSILON  )，但请问这个EPSILON应该取值为多少？是0.1，还是1.0E-999？
假如还没有明白的话，我再问一个问题：用你这个EPSILON之后，即使你保证了应该相等的相等了①，但同时如何能保证不应该相等的决不相等②？比如你用 if( 0.3 *3 == 0.9±0.001 ) 确实可以输出“0.3*3等于0.9”，但也会输出“0.300001*3等于0.9”，小学生也知道后面一个是不成立的。但如果你把EPSILON写得非常小，使得“0.300001*3不等于0.9”，那么它又会输出“0.3*3不等于0.9”。总之，①和②是不可能同时成立的。
这只是问题之一，问题之二在于浮点数不是定点数，它和实数之间的差并不是一个固定值，何况这里面还包含运算过程中带来的累积差。

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[期待读者] 使用浮点数格式的语言的用户。（Fortran用户没有这个烦恼）
[前言] 本以为这是一个极其简单和基础的问题，但连续三天分别在三个不同的C/C++论坛遇到这个问题，令我不得不有发通牢骚的责任^_^。
[正文]
在浮点数上自作聪明的使用EPSILON的例子中，最出名的当属林锐博士的《高质量C++/C编程指南》，其开篇第一项就说“float x 与零值比较的 if 语句”写成“if( x == 0.0f )”是错的，应当写成“if( x>=-EPSILON && x<=EPSILON )”。
a. “if( x>=-EPSILON && x<=EPSILON )”是否是自作聪明的纂改了题意（题意是问是否等于0，而不是问是否接近0），先撇开不谈；
b. “if( x == 0.0f )”是否有错误（我不知道哪个标准说这句话错了；如果指的是逻辑，我告诉你这种用法也很平常），也先撇开不谈。
撇开a和b不谈，把问题简化为：if(a==b) 是否应当写成 if( fabs(a-b) < EPSILON ) 或类似的形式？

首先问为什么要把if(a==b)写成if( fabs(a-b) < EPSILON )？别人告诉我理由是浮点数不精确。
对于“不精确”要细细的描述，是什么不精确？是浮点数在计算机内部存储和计算不精确，还是浮点数不能精确的表示现实中的实数？
如果认为是前者的人，return "回学校重学 数字计算机 和 模拟计算机 那一章"；
如果是后者，也就是不认为浮点数在计算机内部存储和计算不精确的人，既然如此，if(a==b) 和 if( fabs(a-b) < EPSILON ) 就同坐一条船，要么都对，要么都错。
还没明白^_^？因为 if( a-b < EPSILON ) 可以写成 if( a < b+EPSILON )，再把 b+EPSILON 用 c 替代就成了 if( a < c )，如果a不能和c用operator==，那么也就不能用<、>、<=、>=，道理是一样的。
（讲到这里就结束了，下面的事例是为不举例就听不懂的人准备的）

对于浮点数无法使用EPSILON的举证：
1。无法确定EPSILON，或者说唯一合理的EPSILON就是0.0。
假设把EPSILON定义为0.000001，OK！如果 a=0.0000001 请问 a 和 2a 等不等？用if( 2a-a < EPSILON )来计算它俩就是相等的，明显瞎扯。
有人说这很简单呀，只要把EPSILON定义得更小一点就可以了。错，因为总有比EPSILON更小的可能，所以EPSILON只有可能定义为0，if( fabs(a-b) < EPSILON )又等于if(a==b)了。
有人说不要那么吹毛求疵嘛，确定一个平衡些的EPSILON就行了。也错，如果你真能清楚自己当初为什么要把if(a==b)写成if( fabs(a-b) < EPSILON )的原因的话，就不会有这个蠢提议了，之所以要把if(a==b)写成if( fabs(a-b) < EPSILON )原意是因为浮点数是定长定有效位数但不定位的，所以EPSILON也应该是一个变数，而非可以用#define或const定义的常量。
还没明白^_^？回想《计算机基础》上的浮点数在实数轴上的分布点，是不是越接近±0.5-±1.0越密，其间隔是非定长的。
2。现实需求中不存在EPSILON
（因为说了太多次，所以也不说了）

[总结]：浮点数不是定点数，因为不是定点数，所以无法使用EPSILON；意图使用EPSILON来解决浮点数和实数不一致问题的人，其错误本质还是一模一样的，只是换了一种犯错误的形式而已。

[题外话之一]：如何解决浮点数和实数不一致的问题？这本身就属于设计错误，如果你需要的是实数的计算结果，那就不应该使用浮点数来计算。

[题外话之二]：网上也有很多使用EPSILON的算法，但
a. 其算法是固定的，参与计算的数值和结果的范围也是确定的，那么有可能（也只是有可能，并非一切算法都……）存在一个合理的EPSILON，如果它被验证过的话。
b. 如果不是a，那么就一定是从fortran那里照搬过来的，照搬的人不明白浮点数的特性。

[题外话之三]：林锐博士的《高质量C++/C编程指南》开篇第一项一共说了三点，除了上面已经讲过的float和零值比较之外，另外两点也都错误。
a. “请填写BOOL , float, 指针变量 与“零值”比较的 if 语句”
C/C++中没有BOOL这个字，C中的名_Bool，在stdbool.h中定义为bool；C++中的名bool。不知道他这个BOOL从哪里来的，并说成是《高质量C++/C编程指南》？
b. “请写出 char  *p 与“零值”比较的 if 语句。”
他的答案是 if( p == NULL )，我在一个论坛里说“如果是C++，那就应该写成 if( p == 0 )，写成NULL的人，Bjarne在《The C++ Programming Language》中为你们哭泣。”