动态规划与贪心算法

 

动态规划
一、基本概念

    动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。

二、基本思想与策略

    基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

    由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。

    与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。

三、适用的情况

能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：

    (1) 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。

    (2) 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

   （3）有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

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四、求解的基本步骤

     动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题，一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条活动路线(通常是求最优的活动路线)。如图所示。动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。

    初始状态→│决策１│→│决策２│→…→│决策ｎ│→结束状态

                      图1 动态规划决策过程示意图

    (1)划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。在划分阶段时，注意划分后的阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。

    (2)确定状态和状态变量：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。

    (3)确定决策并写出状态转移方程：因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以如果确定了决策，状态转移方程也就可写出。但事实上常常是反过来做，根据相邻两个阶段的状态之间的关系来确定决策方法和状态转移方程。

    (4)寻找边界条件：给出的状态转移方程是一个递推式，需要一个递推的终止条件或边界条件。

    一般，只要解决问题的阶段、状态和状态转移决策确定了，就可以写出状态转移方程（包括边界条件）。

实际应用中可以按以下几个简化的步骤进行设计：

    （1）分析最优解的性质，并刻画其结构特征。

    （2）递归的定义最优解。

    （3）以自底向上或自顶向下的记忆化方式（备忘录法）计算出最优值(计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。)

    （4）根据计算最优值时得到的信息，构造问题的最优解

五、算法实现的说明

    动态规划的主要难点在于理论上的设计，也就是上面4个步骤的确定，一旦设计完成，实现部分就会非常简单。

     使用动态规划求解问题，最重要的就是确定动态规划三要素：

（1）问题的阶段

（2）每个阶段的状态

    （3）从前一个阶段转化到后一个阶段之间的递推关系。

     递推关系必须是从次小的问题开始到较大的问题之间的转化，从这个角度来说，动态规划往往可以用递归程序来实现，不过因为递推可以充分利用前面保存的子问题的解来减少重复计算，所以对于大规模问题来说，有递归不可比拟的优势，这也是动态规划算法的核心之处。

    确定了动态规划的这三要素，整个求解过程就可以用一个最优决策表来描述，最优决策表是一个二维表，其中行表示决策的阶段，列表示问题状态，表格需要填写的数据一般对应此问题的在某个阶段某个状态下的最优值（如最短路径，最长公共子序列，最大价值等），填表的过程就是根据递推关系，从1行1列开始，以行或者列优先的顺序，依次填写表格，最后根据整个表格的数据通过简单的取舍或者运算求得问题的最优解。

  f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}

实例：

1、  钢条切割问题

2、  矩阵相乘问题

3、  最长公共子序列

4、  字符识别

5、  双调欧几里得旅行商问题


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贪心算法

一、基本概念：

 

     所谓贪心算法是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。

     贪心算法没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪心策略的选择。必须注意的是，贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

    所以对所采用的贪心策略一定要仔细分析其是否满足无后效性。

二、贪心算法的基本思路：

    1.建立数学模型来描述问题。

    2.把求解的问题分成若干个子问题。

    3.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。

    4.把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。

三、贪心算法适用的问题

      贪心策略适用的前提是：局部最优策略能导致产生全局最优解。

    实际上，贪心算法适用的情况很少。一般，对一个问题分析是否适用于贪心算法，可以先选择该问题下的几个实际数据进行分析，就可做出判断。

 

四、贪心算法的实现框架

    从问题的某一初始解出发；

    while （能朝给定总目标前进一步）

    { 

          利用可行的决策，求出可行解的一个解元素；

    }

    由所有解元素组合成问题的一个可行解；

  

五、贪心策略的选择

     因为用贪心算法只能通过解局部最优解的策略来达到全局最优解，因此，一定要注意判断问题是否适合采用贪心算法策略，找到的解是否一定是问题的最优解。

 

六、例题分析

    下面是一个可以试用贪心算法解的题目，贪心解的确不错，可惜不是最优解。

    [背包问题]有一个背包，背包容量是M=150。有7个物品，物品可以分割成任意大小。

    要求尽可能让装入背包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。

    物品 A B C D E F G

    重量 35 30 60 50 40 10 25

    价值 10 40 30 50 35 40 30

    分析：

    目标函数： ∑pi最大

    约束条件是装入的物品总重量不超过背包容量：∑wi<=M( M=150)

    （1）根据贪心的策略，每次挑选价值最大的物品装入背包，得到的结果是否最优？

    （2）每次挑选所占重量最小的物品装入是否能得到最优解？

    （3）每次选取单位重量价值最大的物品，成为解本题的策略。

    值得注意的是，贪心算法并不是完全不可以使用，贪心策略一旦经过证明成立后，它就是一种高效的算法。

    贪心算法还是很常见的算法之一，这是由于它简单易行，构造贪心策略不是很困难。

    可惜的是，它需要证明后才能真正运用到题目的算法中。

    一般来说，贪心算法的证明围绕着：整个问题的最优解一定由在贪心策略中存在的子问题的最优解得来的。

    对于例题中的3种贪心策略，都是无法成立（无法被证明）的，解释如下：

    （1）贪心策略：选取价值最大者。反例：

    W=30

    物品：A B C

    重量：28 12 12

    价值：30 20 20

    根据策略，首先选取物品A，接下来就无法再选取了，可是，选取B、C则更好。

    （2）贪心策略：选取重量最小。它的反例与第一种策略的反例差不多。

    （3）贪心策略：选取单位重量价值最大的物品。反例：

    W=30

    物品：A B C

    重量：28 20 10

    价值：28 20 10

    根据策略，三种物品单位重量价值一样，程序无法依据现有策略作出判断，如果选择A，则答案错误。