浮点数的精度

精度疑问

在Python命令行中输入：

>>> 0.1
0.10000000000000001
>>> 2.2
2.2000000000000002
>>> 3.3
3.2999999999999998
>>> 3.5
3.5
>>> 1.2
1.2

可以看到有些浮点数是精确的，而有些则是不精确的，和真实值之间会有一个很小的误差。

二进制小数

Python中的浮点数是所谓的双精度浮点数，它采用64个比特保存一个浮点数。

维基百科中关于双精度浮点数的说明

计算机中的数都是以二进制的形式储存，浮点数也不例外。二进制的小数转换为十进制的小数的方法和整数类似，二进制小数点后的每一位对应的值为，其中n为小数点后的位数。因此10.1011(2)对应的值为：

因为是有限小数，因此任意有限的二进制小数转换为十进制都是有限位的。然而反之则不尽然。下让让我们用程序将十进制小数转换为二进制小数。

十进制小数转换为二进制小数

为了将十进制小数转换为二进制小数，我们需要一个能精确表示十进制小数的对象。可以使用Python标准库中decimal模块的Decimal对象实现。

from decimal import Decimal

def binary_float(x, n=100):
    a = Decimal(x)*2

    r = []
    for i in xrange(n):
        if a >= 1:
            r.append("1")
            a -= 1
        else:
            r.append("0")
        a = a*2
    return "0." + "".join(r)

我们用Decimal对象表示十进制小数，这样不会产生任何误差。然后循环将此对象乘以2，若结果大于1，则输出1并减去1，否则输出0。通过这种方法可以产生二进制小数上的各个位。

下面用binary_float()输出0.1的二进制小数形式，由于浮点数字面量已经不精确，因此需要用字符串表示十进制浮点数：

>>> binary_float("0.1")
0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011001100...

寻找循环节

从上面的结果可以看出0.1对应的二进制小数是一个无限循环小数。我们可以用下面的程序找到二进制小数的循环节：

def binary_float2(x, n=100):
    a = Decimal(x)*2

    r = []
    visited_set = set()
    visited_list = []
    for i in xrange(n):
        if a in visited_set: ❶
            break
        visited_set.add(a)
        visited_list.append(a)
        if a >= 1:
            r.append("1")
            a -= 1
        else:
            r.append("0")
        a = a*2
    r.insert(visited_list.index(a), "[") ❷
    return "0." + "".join(r) + "]"

程序中通过visited_set集合和visited_list列表保存已经每次运算之后的Decimal对象。如果某个数值重复出现，那么就找到了循环节。❶visited_set是一个集合，因此用来快速判断值是否重复。❷而数值重复的位置，即循环节开始的位置则需要从visited_list列表中去寻找。

>>> binary_float2("0.1")
'0.0[0011]'
>>> binary_float2("0.81")
'0.11[00111101011100001010]'

浮点数不精确的原因

通过上面的分析可以看出，许多十进制小数转换成二进制小数变成无限循环小数。而在Python中，浮点数是用64个比特保存的，因此会截去超出的部分，从而造成误差。通过浮点数对象的hex()方法可以查看其二进制形式，例如：

>>> (2.6875).hex()
'0x1.5800000000000p+1'

其中，“1.5800000000000”中每个数字都是一个16进制的数，我们把它重写为二进制得到：1.010110000000...，“p+1”部分类似于十进制的科学计数法，它表示小数点要向右移动一位，因此2.6875是使用二进制小数10.1011(2)表示的，这个值是完全精确的。下面再看0.1对应的二进制数：

>>> (0.1).hex()
'0x1.999999999999ap-4'

把它展开为二进制小数，其结果为：

0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010         内存中所保存的0.1对应的二进制小数

而0.1对应的真正的二进制小数为：

0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011... 0.1对应的真正的二进制小数

与真正的二进制小数相比，显然内存中所保存的稍大一些，二者之间相差了约：

0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000001101

即在小数点之后第58和59位有一个1，它对应的值为，约等于5.2e-18，四舍五入到第17位上为1。因此会有：

>>> 0.1
0.10000000000000001

使用SymPy的N()，可以查看浮点数所对应的实际值，下面分别查看0.1和0.12到小数点后30位：

>>> from sympy import N
>>> N(0.1, 30)
0.100000000000000005551115123126
>>> N(0.12, 30)
0.119999999999999995559107901499
>>> 0.12
0.12

我们看到0.12其实也不精确，但是保留小数点后17位时正好四舍五入为0.12了。