立体图形

我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形，讲解有关的计数问题。

　　例1 左下图中共有多少个面？多少条棱？

　　分析与解：如右上图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形。

　　前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面。所以共有

　　1＋1+1+2＋2＋1= 8（个）面。

　　前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱6＋6＋6=18（条）。

　　例2 右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。

　　分析与解：如果一面一面去数，那么虽然可以得到答案，但太麻烦，而且容易出错。仔细观察会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。

　　如上图所示，可求得表面积为

　　（9＋7＋8）×2=48（厘米²）。

　　例3 右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？

　　分析与解：正方体只可能有两种：

　　由1个小正方体构成的正方体，有22个；

　　由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个。

　　所以共有正方体 22＋4=26（个）。

　　由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13＋13＋14=40（个）。

　　例4 有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（见下页左上图），求这个立体图形的表面积。

　　分析与解：由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。如右上图所示，八个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角，12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大正方体，相对于不粘接，减少了表面积4厘米² ，所以总的表面积为

　　（2×2×6）×8＋（1×1×6）×12-4×12=216（厘米²）。

　　例5 右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？

　　分析与解：一个长方体有8个角、12条棱、6个面，角上的8个小立方体三面涂有红色，在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色，在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红色。

　　根据上面的分析得到：

　　三面涂有红色的小立方体有8块；

　　两面涂有红色的小立方体，因为每条棱上要去掉两头的2块，故有［（4-2）＋（5-2）+（6-2）］×4=36（块）；

　　一面涂有红色的小立方体，因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体，故有

　　［（4-2）×（5-2）＋（4-2）×（6-2）＋（5-2）×（6-2）］×2＝ 52（块）。

　　一般地，当a，b，c都不小于2时，对于a×b×c的立方体：

　　三面涂有红色的小立方体有8块；

　　两面涂有红色的小立方体的块数是：

　　［（a-2）＋（b-2）＋（c-2）］×4；

　　一面涂有红色的小立方体的块数是：

　　［（a-2）×（b-2）＋（a-2）×（c-2）＋（b-2）×（c-2）］×2；

　　没有被涂上红色的小立方体的块数是：

　　（a-2）×（b-2）×（c-2）。

　　例6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，每种颜色涂两个面，共有多少种不同涂法？（两种涂法，经过翻动能使各种颜色的位置相同，认为是相同的涂法。）

　　分析与解：根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。

　　（1）两个红色面相对。此时，有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。

　　（2）两个红色面相邻。此时，除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外，当蓝黄相对时，按右图摆放，底面有蓝或黄两种涂法。

　　所以共有6种不同涂法。