立体图形2

本讲主要讲长方体和立方体的展开图，各个面的相对位置，提高同学们的看图能力和空间想象能力。

　

　

　　例1 在下面的三个图中，有一个不是右面正四面体的展开图，请将它找出来。

　

　　分析与解：观察四面体容易看出，每个顶点都是三个面的交点，即四面体的每个顶点只与三个面相连，而在图2中，“中心点”与四个面相连，所以图2不是正四面体的展开图。

　　例2 在下面的四个展开图中，哪一个是右图所示立方体的展开图？

　

　　分析与解：观察立方体图形，A，B，C三个面两两相邻，即三个面有一个公共顶点。再看四个展开图，图1中A与C不相邻，是相对的两个面，不合题意；图3中C与B是相对的两个面，也不合题意；图2、图4中A，B，C三个面都相邻，还需进步判别。我们看下面的两个立方体图形：

　

　　这两个图虽然相似，但是A，B，C三个面的相对位置不同。

　

　　我们可以借助一个现成工具——右手，帮助判断三个面的相对位置。伸出右手，让除大姆指外的四指从A向B弯曲，此时，左上图中C位于大姆指指向的方向，右上图中C位于大姆指指向的相反方向。所以两个图A，B，C三个面的相对位置不同。用这种方法判断三个面相对位置的方法称为右手方法。（这也是建立空间坐标系的方法）。

　　用右手方法很容易判断出，图4是所求的展开图。

　　例3 右图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，1 点与哪些点重合？

　

　　分析与解：直接想象将展开图折叠成纸盒时的情景，也可以得到答案。现在我们从另一个角度来分析。在左下图所示的立方体上观察8个顶点，其中与A点不在一个

　

　　表面上的只有B点，也就是说，沿着表面走，这两个点的路程最远。在展开图上，这两个点恰好是相邻两个小正方形所构成的长方形的对角线上的两个端点。在上页右下图中，1，2，6点都距9点最远，也就是说，1，2，6点都与9点不在一个表面上。而与9点不在一个表面上的只有一个点，所以1，2，6点是同一个点，即折叠成纸盒时，1，2，6点重合。

　　例4 有两块六个面上分别写着1～6的相同的数字积木，摆放如下图。在这两块积木中，相对两个面上的数字的乘积最小是多少？

　

　　分析与解：由两图看出，5与1，3，4，6都相邻，所以5的对面只能是2；对右上图使用右手方法，四指由5向4弯曲，大姆指指向6，将5，4，6的这个关系移到左上图，立刻得到1的对面是4，3的对面是6。

　　5×2＝10，1×4＝4，3×6＝18，

　　相对两个面上的数字的乘积最小是4。

　　例5 有五颗相同的骰子放成一排（如下图），五颗骰子底面的点数之和是多少？

　

　　分析与解：五颗骰子有三颗露出了5，并且5和1，2，3，6相邻，所以5的对面是4；2与1，3，5相邻，因为5与4相对，故2也与4相邻，所以2的对面是6；剩下的1与3必相对。

　　五颗骰子底面的点数从左至右依次是4，6，3，1，4，其和为4＋6＋3＋1＋4＝18。

　　例6 用一平面去截一个立方体，把立方体截成两个部分，截口是一个矩形的。问：这两个部分各是几个面围成的？

　　分析与解：截的方法有多种，所以一定要分情况讨论。截口通过1条棱是1种情况，截口通过2条棱是1种情况，截口不通过任何棱有2种情况。所以共有下图所示的四种可能。