圆柱与圆锥

这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。

　

　　

　　例1 如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？

　　分析与解：本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。

　　

　　这表明容器可以装8份5升水，已经装了1份，还能装水5×（8－1）=35（升）。

　　例2 用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。这样做成的铁桶的容积最大是多少？（精确到1厘米³）

　　分析与解：铁桶有以60厘米的边为高和以40厘米的边为高两种做法。

　　

时桶的容积是

　　

桶的容积是

　　　

　　例3 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米³。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。问：瓶内现有饮料多少立方分米？

　　分析与解：瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计算。比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变，所以空余部分的体积应当相同。将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变，高为 20＋5=25（厘米）

　　例4 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶

中后，水桶中的水面升高了多少厘米？

　

　　解：皮球的体积是

　　

　　

　　

　　水面升高的高度是450π÷900π＝0.5（厘米）。

　　答：水面升高了0.5厘米。

　　例5 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

　　分析与解：需要涂漆的面有圆柱体的下底面、外侧面、上面的圆环、圆孔的侧面、圆孔的底面，其中上面的圆环与圆孔的底面可以拼成一个与圆柱体的底面相同的圆。涂漆面积为

　　例6 将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。

　　解：被熔的圆锥形铝块的体积：

　　

　　被熔的圆柱形铝块的体积：π×302×20=18000π（厘米³）。

　　熔成的圆柱形铝块的高：（3600π＋18000π）÷（π×15²） =21600π÷225π=96（厘米）。

　　答：熔铸成的圆柱体高96厘米。