EM算法

EM算法是机器学习中一个很重要的算法，即期望最大化算法，主要包括以下两个步骤：

E步骤：estimate the expected values
M步骤：re-estimate parameters

迭代使用EM步骤，直至收敛。

我觉得可以有一些比较形象的比喻说法把这个算法讲清楚。比如说食堂的大师傅炒了一 份菜，要等分成两份给两个人吃，显然没有必要拿来天平一点一点的精确的去称分量，最简单的办法是先随意的把菜分到两个碗中，然后观察是否一样多，把比较多 的那一份取出一点放到另一个碗中，这个过程一直迭代地执行下去，直到大家看不出两个碗所容纳的菜有什么分量上的不同为止。EM算法就是这样，假设我们估计 知道A和B两个参数，在开始状态下二者都是未知的，并且知道了A的信息就可以得到B的信息，反过来知道了B也就得到了A。可以考虑首先赋予A某种初值，以 此得到B的估计值，然后从B的当前值出发，重新估计A的取值，这个过程一直持续到收敛为止。

EM 算法是 Dempster，Laind，Rubin 于 1977 年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行 MLE 估计，是一种非常简单实用的学习算法。这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据，截尾数据，带有讨厌数据等所谓的不完全数据(incomplete data)。

    假定集合Z = (X,Y)由观测数据 X 和未观测数据Y 组成，Z = (X,Y)和 X 分别称为完整数据和不完整数据。假设Z的联合概率密度被参数化地定义为P(X，Y|Θ)，其中Θ 表示要被估计的参数。Θ 的最大似然估计是求不完整数据的对数似然函数L(X;Θ)的最大值而得到的：
L(Θ; X )= log p(X |Θ) = ∫log p(X ,Y |Θ)dY ；

    EM算法包括两个步骤：由E步和M步组成，它是通过迭代地最大化完整数据的对数似然函数Lc( X;Θ )的期望来最大化不完整数据的对数似然函数，其中：
Lc(X;Θ) =log p(X，Y |Θ) ；
    假设在算法第t次迭代后Θ 获得的估计记为Θ(t ) ，则在（t+1）次迭代时，
    E-步：计算完整数据的对数似然函数的期望，记为：
    Q(Θ |Θ (t) ) = E{Lc(Θ;Z)|X;Θ(t) }；
    M-步：通过最大化Q(Θ |Θ(t) ) 来获得新的Θ 。

   通过交替使用这两个步骤，EM算法逐步改进模型的参数，使参数和训练样本的似然概率逐渐增大，最后终止于一个极大点。直观地理解EM算法，它也可被看作为一个逐次逼近算法：事先并不知道模型的参数，可以随机的选择一套参数或者事先粗略地给定某个初始参数λ0 ，确定出对应于这组参数的最可能的状态，计算每个训练样本的可能结果的概率，在当前的状态下再由样本对参数修正，重新估计参数λ ，并在新的参数下重新确定模型的状态，这样，通过多次的迭代，循环直至某个收敛条件满足为止，就可以使得模型的参数逐渐逼近真实参数。
    EM算法的主要目的是提供一个简单的迭代算法计算后验密度函数，它的最大优点是简单和稳定，但容易陷入局部最优

下面给出一个很经典的EM算法的应用

 

机器翻译中要计算未对齐句对的翻译概率，我们可以采用EM算法获取

P(f|e) =Sigma(P(a, f|e))，一共有如下3种对齐方式

 

初始化设定 t(x|b)=t(x|c)=t(y|b)=t(y|c)=1/2

对齐1：p(a,f|e)=1/2*1/2=1/4
对齐2：p(a,f|e)=1/2*1/2=1/4
对齐3：p(a,f|e)=1/2

继续计算

对齐1：p(a|e,f)=(1/4)/(1/4+1/4)=1/2
对齐2：p(a|e,f)=(1/4)/(1/4+1/4)=1/2
对齐3：p(a|e,f)=(1/2)/(1/2)=1

tc(x|b)=1/2
tc(x|c)=1/2
tc(y|b)=1+1/2=3/2
tc(y|c)=1/2

完成E步骤，利用E步骤获取的信息重新估计参数

t(x|b)=(1/2)/(1/2+3/2)=1/4
t(x|c)=(1/2)/(1/2+1/2)=1/2
t(y|b)=(3/2)/(1/2+3/2)=3/4
t(y|c)=(1/2)/(1/2+1/2)=1/2

完成M步骤，重复上面的EM步骤，直至收敛

以上只是简单的EM算法的使用，在机器翻译，语言识别等领域应用比较广泛，多用于训练

最大似然估计的求解请参看概率论，是在获取某个样本的情况下，进行参数估计的一种方法