0-1背包问题

动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。
比如01背包问题。

/* 一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N件物品，
它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,
它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.
若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。
输入格式：
M,N
W1,P1
W2,P2
......
输出格式：
X
*/

因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。比如，开始任选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。
测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗?

 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define M 10
#define N 3

int count_knap(int W[], int V[])
{
  int i;
  int j;
  int A[N+1][M+1];
  
  for(i=0;i<N+1;i++)
   for(j=0;j<M+1;j++)
    A[i][j] = 0;
    
  for(i=1;i<N+1;i++)
   for(j=1;j<M+1;j++)
   {
     if(W[i]<=j)
      {
        if(V[i]+A[i-1][j-W[i]] > A[i-1][j])
          A[i][j] = V[i]+A[i-1][j-W[i]];
        else
          A[i][j] = A[i-1][j];
      }
     else
      A[i][j] = A[i-1][j];
   }
  
  return A[N][M];
}

int main(int argc, char *argv[])
{
  int ret;
  int W[N+1] = {0,3,4,5};
  int V[N+1] = {0,4,5,6};
  
  ret = count_knap(W,V);
  
  printf("max is %d\n", ret);
  
  system("PAUSE");    
  return 0;
}