八皇后问题

八皇后问题

八皇后问题：

一：分析部分参考：

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1.引子
中国有一句古话，叫做“不撞南墙不回头"，生动的说明了一个人的固执，有点贬义，但是在软件编程中，这种思路确是一种解决问题最简单的算法，它通过一种类似于蛮干的思路，一步一步地往前走，每走一步都更靠近目标结果一些，直到遇到障碍物，我们才考虑往回走。然后再继续尝试向前。通过这样的波浪式前进方法，最终达到目的地。当然整个过程需要很多往返，这样的前进方式，效率比较低下。
2.适用范围
适用于那些不存在简明的数学模型以阐明问题的本质，或者存在数学模型，但是难于实现的问题。
3.应用场景
在8*8国际象棋棋盘上，要求在每一行放置一个皇后，且能做到在竖方向，斜方向都没有冲突。国际象棋的棋盘如下图所示：
 
4.分析
基本思路如上面分析一致，我们采用逐步试探的方式，先从一个方向往前走，能进则进，不能进则退，尝试另外的路径。首先我们来分析一下国际象棋的规则，这些规则能够限制我们的前进，也就是我们前进途中的障碍物。一个皇后q(x,y)能被满足以下条件的皇后q(row,col)吃掉
1）x=row(在纵向不能有两个皇后)
2) y=col（横向）
3）col+row = y+x;（斜向正方向）
4) col-row = y-x;（斜向反方向）
遇到上述问题之一的时候，说明我们已经遇到了障碍，不能继续向前了。我们需要退回来，尝试其他路径。

我们将棋盘看作是一个8*8的数组，这样可以使用一种蛮干的思路去解决这个问题，这样我们就是在8*8=64个格子中取出8个的组合，C(64,80) = 4426165368,显然这个数非常大，在蛮干的基础上我们可以增加回溯，从第0列开始，我们逐列进行，从第0行到第7行找到一个不受任何已经现有皇后攻击的位置，而第五列，我们会发现找不到皇后的安全位置了，前面四列的摆放如下:

第五列的时候，摆放任何行都会上图所示已经存在的皇后的攻击，这时候我们认为我们撞了南墙了，是回头的时候了，我们后退一列，将原来摆放在第四列的皇后（3，4）拿走，从（3，4）这个位置开始，我们再第四列中寻找下一个安全位置为（7，4），再继续到第五列，发现第五列仍然没有安全位置，回溯到第四列，此时第四列也是一个死胡同了，我们再回溯到第三列，这样前进几步，回退一步，最终直到在第8列上找到一个安全位置（成功）或者第一列已经是死胡同，但是第8列仍然没有找到安全位置为止

总结一下
用回溯的方法解决8皇后问题的步骤为：

1）从第一列开始，为皇后找到安全位置，然后跳到下一列

2）如果在第n列出现死胡同，如果该列为第一列，棋局失败，否则后退到上一列，在进行回溯

3）如果在第8列上找到了安全位置，则棋局成功。

8个皇后都找到了安全位置代表棋局的成功，用一个长度为8的整数数组queenList代表成功摆放的8个皇后，数组索引代表棋盘的col向量，而数组的值为棋盘的row向

量，所以(row,col)的皇后可以表示为(queenList[col],col),如上图中的几个皇后可表示为： queenList[0] = 0;
queenList[1] = 3;
queenList[2] = 1;
queenList[3] = 4;
queenList = 2;

 

二：编码实现(C)

 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define N 8

int count = 0;

int abs(int num)
{
  if(num<0)
    num *= -1;
        
  return num;
}
/***0-conflict*****
 *1-not conflict***
 ******************/
int check_conflict(int queen[], int n)
{
    int i;
    int j;
    
    for(i=0;i<=n;i++)
    {
      for(j=0;j<=n;j++)
       {
         if(i!=j && (queen[i]==queen[j] || abs(queen[i]-queen[j]) == abs(j-i)))
            return 0;
       }
    }
    return 1;
}

void print_queen(int queen[], int n)
{
  int i;
  int j;
  int A[n][n];
  
  for(i=0;i<n;i++)
   for(j=0;j<n;j++)
   {
     if(j == queen[i])
       A[i][j]=1;
     else
       A[i][j]=0;
    }
  
   for(i=0;i<n;i++)
   {
    for(j=0;j<n;j++)
     {
       printf("%4d",A[i][j]);
     }
     printf("\n");
   }
}

int count_n_queen(int queen[], int i, int n)
{
  if(i>=n)
   {
    print_queen(queen, n);
    count++;
    //system("PAUSE");    

   }
  else
   {
     int j;
     for(j=0;j<n;j++)
     {
       queen[i] = j;
       if(check_conflict(queen, i))
          count_n_queen(queen, i+1, n);
     }
   }
}

int main(int argc, char *argv[])
{
  int i;
  int queen[N];
    
  for(i=0; i<N; i++)
    queen[i] = -1;
    
  count_n_queen(queen,0,N);
  
  printf("%d queens has total %d\n", N, count);
  system("PAUSE");    
  return 0;
}