5．求具体矩阵的逆矩阵

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5．求具体矩阵的逆矩阵

求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵时，常采用如下一些方法．

方法1　伴随矩阵法：．

　  注1　对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵．注意元素的位置及符号．特别对于2阶方阵，其伴随矩阵，即伴随矩阵具有“主对角元互换，次对角元变号”的规律．

　  注2　对分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵．

　  方法2初等变换法：

　  注 对于阶数较高()的矩阵，采用初等变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便．在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换．

　  方法3　分块对角矩阵求逆：对于分块对角(或次对角)矩阵求逆可套用公式

其中均为可逆矩阵．

　  例1　已知，求．

　　解　将分块如下：

其中，

而

，

从而　　　　　　　

例2　已知，且，试求．

　  解  由题设条件得

例3 设4阶矩阵

且矩阵满足关系式，试将所给关系式化简，并求出矩阵．

　　解　由所给的矩阵关系式得到

，即

故．利用初等变换法求．由于

故                 

例4 设，则_________.

　　应填：.

　　分析　在遇到的有关计算时，一般不直接由定义去求，而是利用的重要公式.如此题，由得，而，于是

=

例5　已知，试求和．

　　分析　因为，所以求的关键是求．又由知，可见求得和后即可得到．

　　解　对两边取行列式得，于是

即，故

又因为，其中，又，可求得

，

故由得

例6 设，其中（），则____.

　　应填：.

　  分析  法1.，其中，.

从而.又，，代入即得的逆矩阵.

　  法2.　用初等变换法求逆矩阵.

=

故