回溯法其实也是一种搜索算法,它可以方便的搜索解空间。
回溯法解题通常可以从以下三步入手:
1、针对问题,定义解空间
2、确定易于搜索的解空间结构
3、以深度优先的方式搜索解空间,并在搜索的过程中进行剪枝
回溯法通常在解空间树上进行搜索,而解空间树通常有子集树和排列树。
针对这两个问题,算法的框架基本如下:
用回溯法搜索子集合树的一般框架:
- void backtrack(int t){
- if(t > n) output(x);
- else{
- for(int i = f(n,t); i <= g(n,t);i++){
- x[t] = h(i);
- if(constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);
- }
- }
- }
void backtrack(int t){
if(t > n) output(x);
else{
for(int i = f(n,t); i <= g(n,t);i++){
x[t] = h(i);
if(constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);
}
}
}
用回溯法搜索排列树的算法框架:
- void backtrack(int t){
- if(t > n) output(x);
- else{
- for(int i = f(n,t); i <= g(n,t);i++){
- swap(x[t],x[i]);
- if(constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);
- swap(x[t],x[i]);
- }
- }
- }
void backtrack(int t){
if(t > n) output(x);
else{
for(int i = f(n,t); i <= g(n,t);i++){
swap(x[t],x[i]);
if(constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);
swap(x[t],x[i]);
}
}
}
其中f(n,t),g(n,t)表示当前扩展结点处未搜索过的子树的起始标号和终止标号,
h(i)表示当前扩展节点处,x[t]第i个可选值。constraint(t)和bound(t)是当前
扩展结点处的约束函数和限界函数。constraint(t)返回true时,在当前扩展结点
x[1:t]取值满足约束条件,否则不满足约束条件,可减去相应的子树。bound(t)返
回的值为true时,在当前扩展结点x[1:x]处取值未使目标函数越界,还需要由backtrack(t+1)
对其相应的子树进一步搜索。
用回溯法其实质上是提供了搜索解空间的方法,当我们能够搜遍解空间时,
显然我们就能够找到最优的或者满足条件的解。这便是可行性的问题, 而效率可以
通过剪枝函数来降低。但事实上一旦解空间的结构确定了,很大程度上时间复杂度
也就确定了,所以选择易于搜索的解空间很重要。
下面我们看看两个最简单的回溯问题,他们也代表了两种搜索类型的问题:子集合问题和
排列问题。
第一个问题:
求集合s的所有子集(不包括空集),我们可以按照第一个框架来写代码:
- #include
- using namespace std;
-
- int s[3] = {1,3,6};
- int x[3];
- int N = 3;
- void print(){
- for(int j = 0; j < N; j++)
- if(x[j] == 1)
- cout << s[j] << " ";
- cout << endl;
- }
-
- void subset(int i){
- if(i >= N){
- print();
- return;
- }
-
- x[i] = 1;
- subset(i+1);
- x[i] = 0;
- subset(i+1);
- }
-
- int main(){
- subset(0);
- return 0;
- }
#include
using namespace std;
int s[3] = {1,3,6};
int x[3];
int N = 3;
void print(){
for(int j = 0; j < N; j++)
if(x[j] == 1)
cout << s[j] << " ";
cout << endl;
}
void subset(int i){
if(i >= N){
print();
return;
}
x[i] = 1;//搜索右子树
subset(i+1);
x[i] = 0;//搜索左子树
subset(i+1);
}
int main(){
subset(0);
return 0;
}
下面我们看第二个问题:排列的问题,求一个集合元素的全排列。
我们可以按照第二个框架写出代码:
- #include
- using namespace std;
-
- int a[4] = {1,2,3,4};
- const int N = 4;
-
- void print(){
- for(int i = 0; i < N; i++)
- cout << a[i] << " ";
- cout << endl;
- }
-
- void swap(int *a,int i,int j){
- int temp;
- temp = a[i];
- a[i] = a[j];
- a[j] = temp;
- }
-
- void backtrack(int i){
- if(i >= N){
- print();
- }
- for(int j = i; j < N; j++){
- swap(a,i,j);
- backtrack(i+1);
- swap(a,i,j);
- }
- }
-
- int main(){
- backtrack(0);
- return 0;
- }
#include
using namespace std;
int a[4] = {1,2,3,4};
const int N = 4;
void print(){
for(int i = 0; i < N; i++)
cout << a[i] << " ";
cout << endl;
}
void swap(int *a,int i,int j){
int temp;
temp = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = temp;
}
void backtrack(int i){
if(i >= N){
print();
}
for(int j = i; j < N; j++){
swap(a,i,j);
backtrack(i+1);
swap(a,i,j);
}
}
int main(){
backtrack(0);
return 0;
}
这两个问题很有代表性,事实上有许多问题都是从这两个问题演变而来的。第一个问题,它穷举了所有问题的子集,这是所有第一种类型的基础,第二个问题,它给出了穷举所有排列的方法,这是所有的第二种类型的问题的基础。理解这两个问题,是回溯算法的基础.
下面看看一个较简单的问题:
整数集合s和一个整数sum,求集合s的所有子集su,使得su的元素之和为sum。
这个问题很显然是个子集合问题,我们很容易就可以把第一段代码修改成这个问题的代码:
- int sum = 10;
- int r = 0;
- int s[5] = {1,3,6,4,2};
- int x[5];
- int N = 5;
-
- void print(){
- for(int j = 0; j < N; j++)
- if(x[j] == 1)
- cout << s[j] << " ";
- cout << endl;
- }
- void sumSet(int i){
- if(i >= N){
- if(sum == r) print();
- return;
- }
- if(r < sum){
- r += s[i];
- x[i] = 1;
- sumSet(i+1);
- r -= s[i];
- }
- x[i] = 0;
- sumSet(i+1);
- }
-
- int main(){
- sumSet(0);
- return 0;
- }
int sum = 10;
int r = 0;
int s[5] = {1,3,6,4,2};
int x[5];
int N = 5;
void print(){
for(int j = 0; j < N; j++)
if(x[j] == 1)
cout << s[j] << " ";
cout << endl;
}
void sumSet(int i){
if(i >= N){
if(sum == r) print();
return;
}
if(r < sum){//搜索右子树
r += s[i];
x[i] = 1;
sumSet(i+1);
r -= s[i];
}
x[i] = 0;//搜索左子树
sumSet(i+1);
}
int main(){
sumSet(0);
return 0;
}
八皇后问题是一个古老而著名的问题,是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出:在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上.
问题分析:
第一步 定义问题的解空间
这个问题解空间就是8个皇后在棋盘中的位置.
第二步 定义解空间的结构
可以使用8*8的数组,但由于任意两个皇后都不能在同行,我们可以用数组下标表示
行,数组的值来表示皇后放的列,故可以简化为一个以维数组x[9]。
第三步 以深度优先的方式搜索解空间,并在搜索过程使用剪枝函数来剪枝
根据条件:x[i] == x[k]判断处于同一列
abs(k-i) == abs(x[k]-x[i]判断是否处于同一斜线
我们很容易写出剪枝函数:
- bool canPlace(int k){
- for(int i = 1; i < k; i++){
-
- if(x[i] == x[k] || abs(k-i) == abs(x[k]-x[i])) return false;
- }
- return true;
- }
bool canPlace(int k){
for(int i = 1; i < k; i++){
//判断处于同一列或同一斜线
if(x[i] == x[k] || abs(k-i) == abs(x[k]-x[i])) return false;
}
return true;
}
然后我们按照回溯框架一,很容易写出8皇后的回溯代码:
- void queen(int i){
- if(i > 8){
- print();
- return;
- }
- for(int j = 1; j <= 8; j++){
- x[i] = j;
- if(canPlace(i)) queen(i+1);
- }
- }
void queen(int i){
if(i > 8){
print();
return;
}
for(int j = 1; j <= 8; j++){
x[i] = j;//记录所放的列
if(canPlace(i)) queen(i+1);
}
}
整个代码:
- #include
- #include
- using namespace std;
-
- int x[9];
- void print(){
- for(int i = 1; i <= 8; i++)
- cout << x[i] << " ";
- cout << endl;
- }
-
- bool canPlace(int k){
- for(int i = 1; i < k; i++){
-
- if(x[i] == x[k] || abs(k-i) == abs(x[k]-x[i]))
- return false;
- }
- return true;
- }
-
- void queen(int i){
- if(i > 8){
- print();
- return;
- }
- for(int j = 1; j <= 8; j++){
- x[i] = j;
- if(canPlace(i)) queen(i+1);
- }
- }
-
- int main(){
- queen(1);
- return 0;
- }
八皇后问题的非递归实现
这里给出的递归实现和上面的差不多,放在这里主要是为了和下面的非递归作对应,因为它们的变量相似。
递归实现:
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "time.h"
/**//* 记录当前的放置方案 */
int *x;
/**//* 皇后的个数N 和 方案数目 */
int n,sum=0;
/**//* 检查参数所指示的这一行皇后放置方案是否满足要求 */
int Place(int);
/**//* 递归方法求取皇后放置方案*/
void Queen1(void);
/**//* 用户递归求取皇后放置方案的递归方法 */
void TraceBack(int);
/**//* 打印当前成功的放置方案 */
void PrintMethod(void);
void main(void)
{
long start,stop;
printf("input n: ");
scanf("%d",&n);
x=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
time(&start);/**//*记录开始时间*/
Queen1();
time(&stop);/**//*记录结束时间*/
printf("\nmethod total %d \n",sum);
printf("\nuse %d seconds \n",(int)(stop-start));
}
int Place(int r)
{
int i;
for(i=0;i<r;i++){
if(x[r]==x[i] || abs(r-i)==abs(x[r]-x[i]))
return 0;
}
return 1;
}
void TraceBack(int r)
{
int i;
if(r>=n){
sum++;
/**//* PrintMethod(); */
}else{
for(i=0;i<n;i++){
x[r]=i;
if(Place(r)) TraceBack(r+1);
}
}
}
void PrintMethod(void)
{
int i,j;
printf("\nmethod %d\n",sum);
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;j++){
if(j==x[i]) printf("*");
else printf("#");
}
printf("\n");
}
}
void Queen1(void)
{
TraceBack(0);
}
非递归实现:
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "time.h"
/**//* 记录当前的放置方案 */
int *x;
/**//* 皇后的个数N 和 方案数目 */
int n,sum=0;
/**//* 检查参数所指示的这一行皇后放置方案是否满足要求 */
int Place(int);
/**//* 非递归的方法求取皇后放置方案 */
void Queen2(void);
/**//* 打印当前成功的放置方案 */
void PrintMethod(void);
void main(void)
{
long start,stop;
printf("input n: ");
scanf("%d",&n);
x=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
time(&start);/**//*记录开始时间*/
Queen2();
time(&stop);/**//*记录结束时间*/
printf("\nmethod total %d \n",sum);
printf("\nuse %d seconds \n",(int)(stop-start));
}
int Place(int r)
{
int i;
for(i=0;i<r;i++){
if(x[r]==x[i] || abs(r-i)==abs(x[r]-x[i]))
return 0;
}
return 1;
}
void Queen2(void)
{
int i,k;
for(i=0;i<n;i++)
x[i]=0;
k=0;
while(1){
if(x[k]>=n){
/**//* 如果当前第K行的放置位置超出了范围,那么检查该行是否为第0行
如果是第0行,说明所有的方案都已经遍历完毕,函数返回;否则回退到前一行
*/
if(k==0) break;
x[k]=0; /**//* 下次遍历的初始位置 */
k--; /**//* 返回上一行 */
x[k]++; /**//*下一种放置方案*/
}
else if(!Place(k)){
/**//* 如果当前第K行的放置方案不满足要求,采取下一种放置方案*/
x[k]++;
}
else{
if(k==(n-1)){
/**//* 如果已经是最后一行,那么表示已经成功得到一种放置方案*/
sum++;
/**//* PrintMethod(); */
x[k]=0; /**//*下次遍历的初始位置*/
k--; /**//*返回上一行*/
x[k]++; /**//*下一种放置方案*/
}else
k++; /**//* 否则开始配置下一行的皇后 */
}
}
}
void PrintMethod(void)
{
int i,j;
printf("\nmethod %d\n",sum);
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;j++){
if(j==x[i]) printf("*");
else printf("#");
}
printf("\n");
}
} #include
#include
using namespace std;
int x[9];
void print(){
for(int i = 1; i <= 8; i++)
cout << x[i] << " ";
cout << endl;
}
bool canPlace(int k){
for(int i = 1; i < k; i++){
//判断处于同一列或同一斜线
if(x[i] == x[k] || abs(k-i) == abs(x[k]-x[i]))
return false;
}
return true;
}
void queen(int i){
if(i > 8){
print();
return;
}
for(int j = 1; j <= 8; j++){
x[i] = j;
if(canPlace(i)) queen(i+1);
}
}
int main(){
queen(1);
return 0;
}