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2010-05-18 11:06:30


n进m的无平局循环赛

n支球队打循环赛,前m支球队出线。每场比赛皆有胜负,没有平局。问一支球队最少赢多少场可能出线?最少赢多少场一定出线?

这个问题与百度的面试题有类似之处。为了方便叙述,我们定义几个符号。假设A表示参与循环赛的一些球队的集合,A1代表A中的第一名球队,A0代表A中的最后一名球队,那么:
w(A) : A中所有球队获胜场次的总和。
w(A1) : A中获胜场次最多的球队所获胜的场次数。
l(A) : A中所有球队输球场次的总和。
l(A0) : A中输球场次最多的球队所输的场次数。
c(A) : A中所包含的球队数量。

现在我们先把所有n支球队按照最终排名列出来:
(1, 2, 3, 4, ...m-2, m-1) (m, m+1, m+2, ...n-1, n)
[----------H组----------]  [---------T组---------]

人为把这些球队分为两组——H和T。c(H)=m-1,c(T)=n-m+1。显然T1是最后一支出线的球队,它所赢的场次是所有m支出线球队中最少的。现在需要求w(T1)可能的最小值。
首 先假设H和T之间的比赛H组的球队全部获胜。那么w(T)就等于T组内部所比赛的总场次数,即w(T)=(n-m)+(n-m-1)+(n-m- 2)+...+2+1=(n-m)*(n-m+1)/2。在这种情况下,w(T1)大于等于w(T)/c(T),即(n-m)/2。当且仅当T中所有球队 获胜场次相同,并且n-m为偶数时,w(T1)取到最小值(n-m)/2。
如果H和T之间的比赛H组的球队不是全部获胜,那么T组中会有部分球队的获胜场次增加,使得w(T)增大,从而w(T1)也增大。因此要想w(T1)最小,必须满足H中的球队全部赢了T中的球队这个前提条件。

由于w(T1)>=(n-m)/2,因此可得出第一个问题的结论:当n-m为偶数时,最少赢(n-m)/2场可能出线;当n-m为奇数时,最少赢(n-m+1)/2场可能出线。

对于第二问,我们完全可以把问题变化一下,首先看看下面这个问题:
n支球队打循环赛,后n-m支球队被淘汰。每场比赛皆有胜负,没有平局。问一支球队最少输多少场仍可能被淘汰?

为什么要提出这个问题?我们想一想,一支球队不可能被淘汰,不就是一定出线么?我们知道了有可能被淘汰的输球场次最小值,也就知道了有可能被淘汰的获胜场次最大值,只要大于这个值,就一定出线。

同样的,我们把n支球队按排名列出来。不过这次倒过来排,谁输得多谁排前面:
(1, 2, 3, 4, ...n-m-2, n-m-1) (n-m, n-m+1, ...n-1, n)
[------------T组------------]  [---------H组--------]

这 次的c(T)=n-m-1,c(H)=m+1。H0是第n-m支球队,也是最后一支被淘汰的球队。根据上面第一问的解答过程和结论,可以得出l(H0)>=l(H)/c(H)=((m+1)*m/2)/m+1=m/2。由于w(H0)+l(H0)=n-1(每支球队总共进行n-1场比赛),故 w(H0)<=n-1-m/2。也就是说,一支球队最多赢n-1-m/2场仍有可能被淘汰,那么它赢的场次大于这个值就一定出线。

第二问的结论:当m为偶数时,最少赢n-m/2场一定出线;当m为奇数时,最少赢n-(m+1)/2场一定出线。

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