群论基础

一、群定义

群是一个 G，连同一个 "•"，它结合了任何两个 a 和 b 而形成另一个元素指示，记为 a • b。符号 "•" 是对具体给出的运算，比如上面加法的一般的占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算 (G, •) 必须满足叫做群公理的四个要求:

1.	闭合。	对于所有 G 中 a, b，运算 a • b 的结果也在 G 中。
2.	结合律。	对于所有 G 中的 a, b 和 c，等式 (a • b) • c = a • (b • c) 成立。
3.	单位元。	存在 G 中的一个元素 e，使得对于所有 G 中的元素 a，等式 e • a = a • e = a 成立。
4.	逆元。	对于每个 G 中的 a，存在 G 中的一个元素 b 使得 a • b = b • a = e，这里的 e 是单位元。

进行群运算的次序可以是重要的。换句话说，把元素 a 与元素 b 结合，所得到的结果不一定与把元素 b 与元素 a 结合相同；等式

a • b = b • a

不一定成立。这个等式在整数于加法下的群中总是成立，因为对于任何两个整数都有 a + b = b + a（加法的）。但是在下面的对称群中不总是成立。使等式 a • b = b • a 总是成立的群叫做（以命名）。因此，整数加法群是阿贝尔群，但下面的对称群不是。

二、整数加法群

最常见的群之一是集 Z，它由以下数组成：

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

下列整数的性质，可以作为抽象的群公理的模型。

1. 对于任何两个整数 a 和 b，它们的 a + b 也是整数。换句话说，在任何时候，把两个整数相加都不能得出不是整数的结果。这个性质叫做在加法下。
2. 对于任何整数 a, b 和 c，(a + b) + c = a + (b + c)。用话语来表达，先把 a 加到 b，然后把它们的和加到 c，所得到的结果与把 a 加到 b 与 c 的和是相等的。这个性质叫做。
3. 如果 a 是任何整数，那么 0 + a = a + 0 = a。叫做加法的，因为把它加到任何整数都得到相同的整数。
4. 对于任何整数 a，存在另一个整数 b 使得 a + b = b + a = 0。整数 b 叫做整数 a 的，记为 −a。

三、正方形对称群

正方形的（比如和）形成了一个群，叫做并记为 D₄。 二面体群中有下列对称:

id (保持原样)	r1 (向右旋转 90°)	r2 (向右旋转 180°)	r3 (向右旋转 270°)
fv (垂直翻转)	fh (水平翻转)	fd (对角翻转)	fc (反对角翻转)
正方形的对称群（D4）的元素。对顶点进行着色和编号只是把这些运算形象化。

• 保持所有东西不变，记为 id；
• 把正方形向右（顺时针）旋转 90°、180° 和 270°，分别记为 r₁、r₂ 和 r₃。
• 关于垂直和水平中线的反射记为 f_v 和 f_h，关于两个的反射记为 f_d 和 f_c。

任何两个对称 a 和 b 都可以，就是说进行一个之后再进行另一个。先进行 a 然后进行 b 在符号上“从右到左”写为

b • a (“进行对称 a 之后再进行对称 b”。从右到左的概念来源于)。

右面的列出了这种复合的所有可能结果。例如，右旋 270°(r₃) 然后水平翻转(f_h)，等于进行一个沿对角线的反射 (f_d)。使用上述符号，在群表中用蓝色突出:

f_h • r₃ = f_d

D₄ 的群表

•	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
id	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
r1	r1	r2	r3	id	fc	fd	fv	fh
r2	r2	r3	id	r1	fh	fv	fc	fd
r3	r3	id	r1	r2	fd	fc	fh	fv
fv	fv	fd	fh	fc	id	r2	r1	r3
fh	fh	fc	fv	fd	r2	id	r3	r1
fd	fd	fh	fc	fv	r3	r1	id	r2
fc	fc	fv	fd	fh	r1	r3	r2	id
元素 id、r1、r2 和 r3 形成一个，用红色突出。这个子群的左和右分别用绿色和黄色突出。

给定这个对称的集合和描述的运算，群公理可以理解如下:

1. 闭合公理要求任何两个对称 a 和 b 的复合 b • a 仍是对称。另一个群运算的例子是

   r₃ • f_h = f_c

   就是说在水平翻转后右旋 270°等于沿反对角线翻转 (f_c)。确实，两个对称的所有其他组合仍得出一个对称，这可以使用群表来检查。
2. 结合律的限制处理多于两个对称的复合: 给定 D₄ 的三个元素 a、b 和 c，有两种方式计算“a 接着 b 接着 c”。

   (a • b) • c = a • (b • c)

   的要求，意味着三个元素的复合与先进行哪个运算是无关的。 例如， (f_d • f_v) • r₂ = f_d • (f_v • r₂) 可以使用右侧的群表来检查。
3. 单位元是保持所有东西不变的对称 id：对于任何对称 a，进行 a 然后进行 id（或进行 id 然后进行 a）等于 a，用符号表示为

   id • a = a

   a • id = a

4. 逆元素撤销某个其他元素的变换。所有对称都是可以撤销的: 恒等 id，翻转 f_h、f_v、f_d、f_c 和 180°旋转 r₂ 这些变换都是自身的逆元，因为把它们进行两次就把正方形变回了最初的样子。旋转 r₃ 和 r₁ 相互是逆元，因为按一个方向旋转再按另一个方向旋转相同角度保持正方形不变。用符号表示为

   f_h • f_h = id

   r₃ • r₁ = r₁ • r₃ = id

与上述的整数群不同的是，在整数群中运算次序是无关紧要的，而在 D₄ 中则是重要的：f_h • r₁ = f_c 然而 r₁ • f_h = f_d。换句话说，D₄ 不是阿贝尔群，这使得这个群的结构比上面介绍的整数群要更加复杂。

四、循环群

    定义：设为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。由群内的一个元素所生成的群均为循环群，而且是此群的。当群G内含有g的唯一子群为G本身时，可证明G是循环群。

例如，若G = { e, g¹, g², g³, g⁴, g⁵ }, 则G为循环的，且G于 6 的加法群：{}。

对于每一个正整数 n ，都存在唯一一个（在的意义上）为此正整数 n 的循环群，或者说，所有的 n 阶循环群都和模 n 的同余类构成的加法群Z/nZ同构。如果一个循环群的阶是无限的，那么它同构于整数关于加法构成的群。因此，循环群已被完全分类，是最简单的一种群。

每一个循环群都模n的加法群：{或整数的加法群Z。因此，要了解循环群的一般性质，只需要看这些群有什么性质就可以了。所以，循环群是最容易去学习的群，且有许多的良好性质。设G是一个n(n可能是无限的，代表同构于整数)阶的循环群，g是G中一个元素，则：

• G为交换群。这是因为g + h mod n = h + g mod n。
• 若n为有限的，则gⁿ = e，因为 n mod n = 0。
• 若n为无限的，则恰好存在两个生成元，对Z而言，被称为1及−1，且其他同构于G的群均是无限循环群。
• 若n为有限的，则存在着恰好φ(n)个生成元，其中φ为。
• G的每一个子群都是循环群。且确实地，每一个G的 m 阶有限子群皆为模 m 的加法群{0,1,2,3,...,m−1}。而每一个G的无限子群都可以表示成mZ，同构于Z。
• C_n同构于Z/nZ(Z在nZ上的)，因为Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, 3 + nZ, 4 + nZ, ..., n − 1 + nZ} 以n为模之加法的{ 0, 1, 2, 3, 4, ..., n − 1}。

• Z/nZ的生成元为和n的整数之；其生成元的数目被称为φ(n)，其中φ为。

• 更一般的，若d为n的，则在Z/nZ中，阶为d的元素有φ(d)个。同余类m的目为n / (n,m)。

• 若p一，则阶为p的群都于循环群Z_p。

• Z_n和Z_m两个循环群的是循环群n和m。故Z₁₂（一个循环群）会是Z₃和Z₄的直积，而不会是Z₆和Z₂的直积。

• 由定义直接可知，循环群有一其型式为< x | xⁿ >之非常简单的。

• 说明每一个都是有限多个循环群的直积。

• Z_n和Z都是。若p为一质数，则Z_p为一，且亦可标记为F_p或GF(p)。其他每一个具有p个元素的都与其。

• 环Z_n的为和n的数。它们形成一个整数模n的乘法群；它有φ(n)个元素，记作Z_n^×。

例如，当n=6时有Z_n^× = { 1, 5}，而当n=8时则有Z_n^× = {1,3,5,7}。

• 实际上可以证明，Z_n^×为循环的n为2或4或p^k或2 p^k，其中p为一，k≥1。这里，Z_n^×的每个生成元被称为。

因此，Z_n^×在n=6时是循环的，但在n=8时则不是，而转而会同构于。

• 对于每个质数p，群Z_p^×为具有p-1个元素的循环群。更一般性地，任一中的乘法群之有限都是循环的。