递归算法学习系列之八皇后问题

1.引子

中国有一句古话，叫做“不撞南墙不回头"，生动的说明了一个人的固执，有点贬义，但是在软件编程中，这种思路确是一种解决问题最简单的算法，它通过一种类似于蛮干的思路，一步一步地往前走，每走一步都更靠近目标结果一些，直到遇到障碍物，我们才考虑往回走。然后再继续尝试向前。通过这样的波浪式前进方法，最终达到目的地。当然整个过程需要很多往返，这样的前进方式，效率比较低下。


2.适用范围

适用于那些不存在简明的数学模型以阐明问题的本质，或者存在数学模型，但是难于实现的问题。


3.应用场景

在8*8国际象棋棋盘上，要求在每一行放置一个皇后，且能做到在竖方向，斜方向都没有冲突。国际象棋的棋盘如下图所示：



4.分析

基本思路如上面分析一致，我们采用逐步试探的方式，先从一个方向往前走，能进则进，不能进则退，尝试另外的路径。首先我们来分析一下国际象棋的规则，这些规则能够限制我们的前进，也就是我们前进途中的障碍物。一个皇后q(x,y)能被满足以下条件的皇后q(row,col)吃掉

1）x=row(在纵向不能有两个皇后)

2)  y=col（横向）

3）col   row = y x;（斜向正方向）

4)  col - row = y-x;（斜向反方向）

遇到上述问题之一的时候，说明我们已经遇到了障碍，不能继续向前了。我们需要退回来，尝试其他路径。

我们将棋盘看作是一个8*8的数组，这样可以使用一种蛮干的思路去解决这个问题，这样我们就是在8*8=64个格子中取出8个的组合，C(64,80) = 4426165368,显然这个数非常大，在蛮干的基础上我们可以增加回溯，从第0列开始，我们逐列进行，从第0行到第7行找到一个不受任何已经现有皇后攻击的位置，而第五列，我们会发现找不到皇后的安全位置了，前面四列的摆放如下:

第五列的时候，摆放任何行都会上图所示已经存在的皇后的攻击，这时候我们认为我们撞了南墙了，是回头的时候了，我们后退一列，将原来摆放在第四列的皇后（3，4）拿走，从（3，4）这个位置开始，我们再第四列中寻找下一个安全位置为（7，4），再继续到第五列，发现第五列仍然没有安全位置，回溯到第四列，此时第四列也是一个死胡同了，我们再回溯到第三列，这样前进几步，回退一步，最终直到在第8列上找到一个安全位置（成功）或者第一列已经是死胡同，但是第8列仍然没有找到安全位置为止


总结一下

用回溯的方法解决8皇后问题的步骤为：

1）从第一列开始，为皇后找到安全位置，然后跳到下一列

2）如果在第n列出现死胡同，如果该列为第一列，棋局失败，否则后退到上一列，在进行回溯

3）如果在第8列上找到了安全位置，则棋局成功。

8个皇后都找到了安全位置代表棋局的成功，用一个长度为8的整数数组queenList代表成功摆放的8个皇后，数组索引代表棋盘的col向量，而数组的值为棋盘的row向

量，所以(row,col)的皇后可以表示为(queenList[col],col),如上图中的几个皇后可表示为：

复制  保存

queenList[0] = 0;
queenList[1] = 3;
queenList[2] = 1;
queenList[3] = 4;
queenList = 2;

我们看一下如何设计程序:

首先判断(row,col)是否是安全位置的算法：

复制  保存

bool IsSafe(int col, int row, int[] queenList)
{
    //只检查前面的列
    for (int tempCol = 0; tempCol < col; tempCol++)
    {
        int tempRow = queenList[tempCol];
        if (tempRow == row)
        {
            //同一行
            return false;
        }
        if (tempCol == col)
        {
            //同一列
            return false;
        }
        if (tempRow - tempCol == row - col || tempRow + tempCol == row + col)
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

设定一个函数，用于查找col列后的皇后摆放方法：

复制  保存

/// 

/// 在第col列寻找安全的row值
/// 

/// 
/// 
/// 
public bool PlaceQueue(int[] queenList, int col)
{
    int row = 0;
    bool foundSafePos = false;
    if (col == 8) //结束标志
    {
        //当处理完第8列的完成
        foundSafePos = true;
    }
    else
    {
        while (row < 8 && !foundSafePos)
        {
            if (IsSafe(col, row, queenList))
            {
                //找到安全位置
                queenList[col] = row;
                //找下一列的安全位置
                foundSafePos = PlaceQueue(queenList, col + 1);
                if (!foundSafePos)
                {
                    row++;
                }
            }
            else
            {
                row++;
            }
        }
    }
    return foundSafePos;
}

调用方法：

复制  保存

static void Main(string[] args)
{
    EightQueen eq = new EightQueen();
    int[] queenList = new int[8];
    for (int j = 0; j < 8; j++)
    {
        Console.WriteLine("-----------------" + j + "---------------------");
        queenList[0] = j;
        bool res = eq.PlaceQueue(queenList, 1);

        if (res)
        {
            Console.Write("   ");
            for (int i = 0; i < 8; i++)
            {
                Console.Write(" " + i.ToString() + " ");
            }
            Console.WriteLine("");
            for (int i = 0; i < 8; i++)
            {
                Console.Write(" " + i.ToString() + " ");
                for (int a = 0; a < 8; a++)
                {
                    if (i == queenList[a])
                    {
                        Console.Write(" q ");
                    }
                    else
                    {
                        Console.Write(" * ");
                    }
                }
                Console.WriteLine("");

            }

            Console.WriteLine("---------------------------------------");
        }
        else
        {
            Console.WriteLine("不能完成棋局，棋局失败！");
        }
    }
    Console.Read();
}

递归算法PlaceQueue,完成这样的功能：它寻找第col列后的皇后的安全摆放位置，如果该函数返回了false,表示当前进入了死胡同，需要进行回溯，直到为0-7列都找

到了安全位置或者找遍这些列都找不到安全位置的时候终止。

用递归算法解决8皇后问题的示例程序： 


欢迎大家下载；

http://files.cnblogs.com/jillzhang/eightqueens.rar


递归算法到这篇为止，已经学习到了分而治之，动态编程，回溯等重要思想，也用这些问题解决了一些具体问题，比如排序，背包，8皇后问题等，通过对理论的学习

和对实际问题的解决，充分理解递归算法的使用方法。在编写学习系列的过程中，绝大多数都参考数据结构C  语言描述-应用标准模板库 ，特此感谢原书作者：