数值分析课程学习

第一章、绪论

1、     了解数值分析的研究对象与特点。

2、了解误差的来源与分类，会求有效数字，会简单的误差估计。

3、了解误差的定性分析及避免误差危害。

重点题目：P8,例4；P20, 5, 7.

第二章、插值法

1、了解插值的概念。

2、掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。

3、了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿(Newton)插值法。

4、了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。

5、会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。

6、知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特及其误差和收敛性。

7、了解三次样条插值,知道其误差和收敛性。

重点题目：P28,例2；P48, 2, 6, 8.

第三章、函数逼近与曲线拟合

1、了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。

2、了解正交多项式的概念，了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质，知道其他常用正交多项式。

3、理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理，掌握简单的最佳一致逼近多项式的求法。

4、理解最佳平方逼近的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法，了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。

5、了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。

6、了解最佳平方逼近与快速傅里叶变换。

7、了解有理逼近。

重点题目：P63,例3；P68,例6；P94, 4, 13, 16.

第四章、数值积分与数值微分

1、了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。

2、掌握低阶牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式及其性质和余项。

3、会复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。

4、会龙贝格(Romberg)求积算法。

5、了解高斯求积公式的理论,会高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。

6、了解几种常用的数值微分方法。

重点题目：P135, 1, 4, 6.

第五章、解线性方程组的直接方法

1、了解求解方程组的两类方法,了解矩阵基础知识。

2、掌握高斯消去法,了解矩阵的三角分解。

3、掌握高斯列主元素消去法,了解高斯-若当消去法。

4、会直接三角分解法和平方根法,会追赶法，以及有关结论。

5、了解向量和矩阵的几种范数。

6、了解矩阵和方程组的性态,会求其条件数。

7、了解初等反射阵和平面旋转阵,了解QR分解,了解用正交约化法解超定方程组。

重点题目：P153, 例5, P177, 7，8，12.

第六章、解线性方程组的迭代法

1、了解迭代法及其收敛性的概念。

2、掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。

3、了解一阶定常迭代法的基本定理，掌握特殊方程组迭代法的收敛条件。

4、了解分块迭代法。

重点题目：P209, 2.

第七章、非线性方程求根

1、了解求根问题和二分法。

2、了解不动点迭代法,及不动点存在性和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。

3、了解加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。

4、掌握牛顿法及其收敛性、了解简化牛顿法和牛顿法下山法,了解重根情形。

5、会弦截法，了解抛物线法。

6、了解非线性方程组的迭代解法。

重点题目：P225, 例8；P239, 12.

第八章、矩阵特征值问题计算

1、了解特征值和特征向量的概念和性质,了解圆盘定理、Schur定理和Rayleigh商。

2、掌握乘幂法，了解其加速收敛技术,会反幂法。

3、了解豪斯霍尔德方法。

4、了解QR方法。

重点题目：P276, 1，3.

第九章、常微分方程初值问题的数值解法

1、了解常微分方程初值问题的存在唯一性及其数值解的概念。

2、掌握欧拉(Euler)法并了解其变形,了解方法的精度和截断误差的概念,会改进欧拉法。

3、会用龙格-库塔(Runge-Kutta)法，并了解它的导出。

4、了解单步法的收敛性和相容性、绝对稳定性和绝对稳定域。

5、了解线性多步法的导出,会使用常用方法。

6、了解一阶方程组、高阶方程、刚性方程组的数值解法。

重点题目：P316, 1, 2(1).