Chapter 1 Basic Mathematical Operations（3）寻根

（1）普通寻根法：初始猜测值与真实值偏差较大，迭代次数很多；有多个根时，可能会出现错误。

!cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc!
! 　chap1c.f90
! 　Finding roots
program main
!cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc!
!
! 　variables
　implicit none
　real :: x=1.0
　real :: func 　 ! func=x*x-5
　real :: fold 　 ! use as the sign，用于记录初始值的符号
　real :: dx=0.5 　   ! step
　real,parameter :: tolx=1.0E-06 　 ! tolernce for the search
　integer :: iter=0　  ! counter

　func=x*x-5.0
　fold=func

　do while(abs(dx)>tolx)
　　iter=iter+1
　　x=x+dx
　　func=x*x-5.0
　　if(fold*func<0)then
　　　x=x-dx
　　　dx=dx/2.0
　　end if
　end do

　write(*,*)"exact:",sqrt(5.0),"root:",x,"counter:",iter

　stop

end program main

　　计算结果： exact:   2.23606801     root:   2.23606682     counter:          33
　　迭代次数33次。
　　更有效的方法：Newton-Raphson法，但是需要知晓函数导数值。
　　折中一些的做法是割线法。
　　下面是Newton-Raphson法的程序，

!cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc!
! chap1c.f90
! Newton method:Finding roots
! function: sin(x),df(x)/dx=cos(x)
program main
!cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc!
!
! variables
　implicit none
　real :: x1=1.0,x2
　real :: funa
　real :: dfun
　real,parameter :: tolx=1.0E-06　  ! tolernce for the search
　integer :: iter=0  　! counter

　funa=sin(x1)

　do while(abs(funa)>tolx)
　　iter=iter+1
　　dfun=cos(x1)
　　funa=sin(x1)
　　x2=x1-funa/dfun
　　x1=x2
　end do

　write(*,*)"root:",x1,"counter:",iter

stop

end program main

　　当初值是1时，结果为： root:   0.00000000     counter:           5，即迭代5次。
　　当初值为2时，结果为： root:   3.14159274     counter:           6，即迭代6次。
　　计算速度明显比上一种普通迭代法要快的多。