图像的几何变换

几何变换不改变像素值，而是改变像素所在的位置。

1．图像的平移
图像的平移非常简单，所用到的是中学学过的直角坐标系的平移变换公式：  

  x ‘ =  x +dx

   y’ =  y + dy

注：(x,y)为源图像的坐标,(x’,y’)为新图像的坐标,dx对应x的偏移量,dy对应y的偏移量

2．图像的镜像

镜像分为水平镜像和垂直镜像  

2．1>水平镜像计算公式如下（图像大小为M*N）：

x’ = x

y’ = N-1-y

2.2>垂直镜像计算公式为（图像大小为M*N）：

x’ = M-1 –x

y’ = y    

3．图像的旋转

图像的旋转计算公式如下：
X’ = X *COS Q – Y *SIN Q  Y’ = X *SIN Q + Y*COS Q

•这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。要用插值处理。

•这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在的范围不同。

若以（CX，CY）为中心，角度Q逆时针旋转。

X’ = (X – CX)*COS Q – (Y – YC)*SIN Q + CX

Y’ = (X – CX)*SIN Q + (Y – YC)*COS Q + CY

注：(x,y)为源图像的坐标,(x’,y’)为新图像的坐标

4．图像缩放

n设原图像大小为M*N,缩小为k1M*k2N，（k1<1，k2<1）。算法步骤如下：

n

1）设旧图像是F(i,j)， i=1,2,…,M, j=1,2,…,N.

     新图像是I(x,y), x=1,2,…,k1M, y=1,2,…,k2N.

2）I(x,y)=F(c1*i,c2*j)

c1=1/k1 c2=1/k2

•这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。要用插值处理。

5．图像错切

图像的错切变换实际上是平面景物在投影平面上的非垂直投影效果。

n错切的计算公式如下：    
5.1  x方向错切
    X' = X + DX *Y      Y' = Y              (其中DX = tan Q)
5.2  y方向错切
       X' = X         Y' = Y + DY *X                 (其中DY = tan Q)

注：当在进行图象几何变换时，一般来说图象像数对应的而坐标值为正整数，在几何变换时，若出现了小数，就要进行插值处理。在这里解释线性插值处理。

实践已证明，插值算法对于缩放比例较小的情况是完全可以接受的，令人信服的。一般的，缩小0.5倍以上或放大3.0倍以下，对任何图像都是可以接受的。 
最邻近插值（近邻取样法）：
最临近插值的的思想很简单。对于通过反向变换得到的的一个浮点坐标，对其进行简单的取整，得到一个整数型坐标，这个整数型坐标对应的像素值就是目的像素的像素值，也就是说，取浮点坐标最邻近的左上角点（对于DIB是右上角，因为它的扫描行是逆序存储的）对应的像素值。可见，最邻近插值简单且直观，但得到的图像质量不高

双线性内插值：
　　对于一个目的像素，设置坐标通过反向变换得到的浮点坐标为(i+u,j+v)，其中i、j均为非负整数，u、v为[0,1]区间的浮点数，则这个像素得值 f(i+u,j+v) 可由原图像中坐标为 (i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)所对应的周围四个像素的值决定，即：

　　　　f(i+u,j+v) = (1-u)(1-v)f(i,j) + (1-u)vf(i,j+1) + u(1-v)f(i+1,j) + uvf(i+1,j+1)

其中f(i,j)表示源图像(i,j)处的的像素值，以此类推。
　　这就是双线性内插值法。双线性内插值法计算量大，但缩放后图像质量高，不会出现像素值不连续的的情况。由于双线性插值具有低通滤波器的性质，使高频分量受损，所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊。
    三次卷积法能够克服以上两种算法的不足，计算精度高，但计算亮大，他考虑一个浮点坐标(i+u,j+v)周围的16个邻点，目的像素值f(i+u,j+v)可由如下插值公式得到：

　　　　f(i+u,j+v) = [A] * [B] * [C]

[A]=[ S(u + 1)　S(u + 0)　S(u - 1)　S(u - 2) ]

　　┏ f(i-1, j-1)　f(i-1, j+0)　f(i-1, j+1)　f(i-1, j+2) ┓
[B]=┃ f(i+0, j-1)　f(i+0, j+0)　f(i+0, j+1)　f(i+0, j+2) ┃
　　┃ f(i+1, j-1)　f(i+1, j+0)　f(i+1, j+1)　f(i+1, j+2) ┃
　　┗ f(i+2, j-1)　f(i+2, j+0)　f(i+2, j+1)　f(i+2, j+2) ┛

　　┏ S(v + 1) ┓
[C]=┃ S(v + 0) ┃
　　┃ S(v - 1) ┃
　　┗ S(v - 2) ┛

　　 ┏ 1-2*Abs(x)^2+Abs(x)^3　　　　　 , 0<=Abs(x)<1
S(x)=｛ 4-8*Abs(x)+5*Abs(x)^2-Abs(x)^3　, 1<=Abs(x)<2
　　 ┗ 0　　　　　　　　　　　　　　　 , Abs(x)>=2
S(x)是对 Sin(x*Pi)/x 的逼近（Pi是圆周率——π）

最邻近插值（近邻取样法）、双线性内插值、三次卷积法 等插值算法对于旋转变换、错切变换、一般线性变换 和 非线性变换 都适用。

//灰度图象旋转,以CX，CY为中心点，Angle为旋转角度。 其中用到了图象旋转，双线性内插值算法。

void GrayImageRotate(LPBYTES,LPBYTED,intCx,intCy,doubleAngle)

{

 double   vcos,vsin;

 double   cx,cy,vx,vy,cntx,cnty;

 int      off,off1,off2;

  int      i,j,m,n;

 double   an,svx,svy;

 double   dx0,dy0,dx1,dy1,zz;

 an   = Angle*3.14159/180.0;

 vcos = cos(an);    vsin = sin(an);

 cntx = (double)Cx; cnty = (double)Cy;

 cx = -cntx; cy = -cnty;

 svx = cx*vcos-cy*vsin+cntx;

 svy = cx*vsin+cy*vcos+cnty;

 off=0;

 for(i=0;i<ImageHeight;i++)

   {

     vx = svx; vy = svy;

     for(j=0;j<ImageWidth;j++)

          {

            m    = (int)vx; n = (int)vy;

            if((m<1)||(m>ImageWidth-2)||(n<1)||(n>ImageHeight-2))

            { D[off]=255;}

            else

            {

              dx0 = vx-m; dy0 = vy-n;

              dx1 = 1-dx0;dy1 = 1-dy0;

              off1 = n*ImageWidth+m;

              zz = 0;

                    zz = S[off1]*dx1*dy1;

                    off2 = off1+1;

                    zz += S[off2]*dx0*dy1;

              off2 = off1+ImageWidth;

                    zz += S[off2]*dx1*dy0;

              off2 = off1+ImageWidth+1;

                    zz += S[off2]*dx0*dy0;

                    if(zz>255)                   zz= 255;

                   if(zz<0)          zz = fabs(zz);

                    D[off]=(int)zz;

            }

            off++; vx = vx +vcos; vy = vy+vsin;

         }

    svx=svx-vsin;svy=svy+vcos;

 }

}

/*

         函数名称：         ImageRotate1

         参数：               S                原图象

                                     D               旋转后的目标图象

                                     fAngle         图象的旋转角度

         说明：               用邻近点插值算法旋转图象

*/

void    ImageRotate1(LPBYTES,LPBYTED,doublefAngle)

{

         inti,j;

         doublex,y,x0,y0,dx,dy,xc,yc;

         xc=double(ImageWidth/2);

         yc=double(ImageHeight/2);

         x0=100000.0;

         y0=0.0;

         //计算图象的偏移量

         GetRotateCoor(x0,y0,xc,yc,fAngle);

         dx=xc-ImageWidth/2;

         dy=yc-ImageHeight/2;

         //新图象从旧图象中取点

         for(i=0;i<ImageHeight;i++)

         {

                  for(j=0;j<ImageWidth;j++)

                   {

                            //由新图象中的坐标得到原图象的坐标

                            x=j;y=i;

                            x=x+dx;

                            y=y+dy;

                            GetRotateCoor(x0,y0,x,y,-fAngle);

                            //如果原来的点在图象外面直接给一个空值

                            if(x<0||x>ImageWidth-1||y<0||y>ImageHeight-1)

                                     D[j+i*ImageWidth]=0;

                            else

                                     D[j+i*ImageWidth]=S[int(x)+int(y)*ImageWidth];

                   }

         }

}
/*

         函数名称：       GetRotateCoor

         参数：               x0,y0         基点

                                     x,y             返回后的目标点

                                     fAngle         旋转角度

         说明：               计算以基点为中心将目标点旋转一定角度后的坐标

*/

void GetRotateCoor(doublex0,doubley0,double& x,double& y,doublefAngle)

{

         doublef,fR;

         fR=sqrt((x0-x)*(x0-x)+(y0-y)*(y0-y));

         f = GetAngle(x0,y0,x,y);

         f+=fAngle;

         x=x0+fR*cos(f);

         y=y0+fR*sin(f);

}

/*

         函数名称：         g_Iden_GetAngle

         参数：               x0,y0         基点

                                     x1,y1         目标点

         说明：               计算由基点到目标点的弧度

*/

double GetAngle(doublex0,doubley0,doublex1,doubley1)

{

         doublefAngle;

         if(x1!=x0)

                  fAngle=atan((float)(y1-y0)/(x1-x0));

         else

                  if(y1>y0) return 1.570796325;

                   elsereturn 4.712388975;

         if(x1-x0<0)

                  fAngle=fAngle+3.14159265;

         if(x1-x0>0&&y1-y0<0)

                  fAngle=fAngle+6.2831853;

         returnfAngle;

}

原文链接：http://www.cnblogs.com/feisky/archive/2009/12/04/1617110.html?login=1

参考：http://blog.csdn.net/shizhip/archive/2008/04/15/2294833.aspx

         坐标系转换公式：