机器学习经典算法之-----最小二乘法

一.背景

   5月9号到北大去听hulu的讲座《推荐系统和计算广告在视频行业应用》，想到能见到传说中的项亮大神，特地拿了本《推荐系统实践》求签名。讲座开始，主讲人先问了下哪些同学有机器学习的背景，我恬不知耻的毅然举手，真是惭愧。后来主讲人在讲座中提到了最小二乘法，说这个是机器学习最基础的算法。神马，最基础，我咋不知道呢！ 看来以后还是要对自己有清晰认识。

   回来赶紧上百度，搜了下什么是最小二乘法。

   先看下百度百科的介绍：最小二乘法（又称最小平方法）是一种优化技术。它通过最小化的平方和寻找数据的最佳匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间的平方和为最小。最小二乘法还可用于。其他一些优化问题也可通过最小化或最大化熵用最小二乘法来表达。

   通过这段描述可以看出来，最小二乘法也是一种优化方法，求得目标函数的最优值。并且也可以用于曲线拟合，来解决回归问题。难怪《统计学习方法》中提到，回归学习最常用的损失函数是平方损失函数，在此情况下，回归问题可以著名的最小二乘法来解决。看来最小二乘法果然是机器学习领域做有名和有效的算法之一。

二. 最小二乘法

   我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？ 监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面...

   对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：

        （1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
        （2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
        （3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

　 最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary  Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。（Q为残差平方和）- 即采用平方损失函数。

 　样本回归模型：

                                     其中e_i为样本（X_i, Y_i）的误差

   平方损失函数：

                      

   则通过Q最小确定这条直线，即确定，以为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：

                       

    根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。

    解得：

                   

这就是最小二乘法的解法，就是求得平方损失函数的极值点。

三. C++实现代码

 1 /*  2 最小二乘法C++实现  3 参数1为输入文件  4 输入 ： x  5 输出： 预测的y  6 */  7 #include  8 #include  9 #include 10 using namespace std; 11 12 class LeastSquare{ 13 double a, b; 14 public: 15 LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y) 16  { 17 double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0; 18 for(int i=0; i19  { 20 t1 += x[i]*x[i]; 21 t2 += x[i]; 22 t3 += x[i]*y[i]; 23 t4 += y[i]; 24  } 25 a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2); // 求得β1  26 b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2); // 求得β2 27  } 28 29 double getY(const double x) const 30  { 31 return a*x + b; 32  } 33 34 void print() const 35  { 36 cout<<"y = "<"x + "<"\n"; 37  } 38 39 }; 40 41 int main(int argc, char *argv[]) 42 { 43 if(argc != 2) 44  { 45 cout<<"Usage: DataFile.txt"<<endl; 46 return -1; 47  } 48 else 49  { 50 vector<double> x; 51 ifstream in(argv[1]); 52 for(double d; in>>d; ) 53  x.push_back(d); 54 int sz = x.size(); 55 vector<double> y(x.begin()+sz/2, x.end()); 56 x.resize(sz/2); 57  LeastSquare ls(x, y); 58  ls.print(); 59 60 cout<<"Input x:\n"; 61 double x0; 62 while(cin>>x0) 63  { 64 cout<<"y = "<endl; 65 cout<<"Input x:\n"; 66  } 67  } 68 }

四. 最小二乘法与梯度下降法

   最小二乘法跟梯度下降法都是通过求导来求损失函数的最小值，那它们有什么区别呢。

   相同

　　1.本质相同：两种方法都是在给定已知数据（independent & dependent variables）的前提下对dependent variables算出出一个一般性的估值函数。然后对给定新数据的dependent variables进行估算。
　　2.目标相同：都是在已知数据的框架内，使得估算值与实际值的总平方差尽量更小（事实上未必一定要使用平方），估算值与实际值的总平方差的公式为：

   其中为第i组数据的independent variable，为第i组数据的dependent variable，为系数向量。

   不同
　　1.实现方法和结果不同：最小二乘法是直接对求导找出全局最小，是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法，先给定一个，然后向下降最快的方向调整，在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢，并且对初始点的选择极为敏感，其改进大多是在这两方面下功夫。

 参考： http://blog.csdn.net/qll125596718/article/details/8248249