用綜合分析法破解前蘇聯數學競賽試題

用綜合分析法破解前蘇聯數學競賽試題(1962)

說 明

下題是1962前蘇聯數學競賽試題，由於編者一向嚮慕數學題的名牌，於是在07年8月7日，再次試

一試破解，這是第二次。而第一次，最少是在5年以前的事，不知是否因為我記憶能力奇差，所以

既不擅長也不喜歡熟記答案，最重要是在第一次踫到此幾何難題時，是以研究其解答??答案作

為開始的，當時已感到那些解法是相當不容易想到的。所以是次挑戰此題，並沒有十足把握，然

而我對「分析綜合法」這把「雙刃劍」，非常有信心，果然，不到15分鐘，此題就得到破解。

原書[1]給出四個解，我的解法與書內其中兩個解，「路數」有點接近，但不同的地方甚多，最令

我感到欣慰的地方有二，第一、我的解法祇添加一條輔助線，而書上的解法全部都要加進兩條或

以上的輔助線的；第二、與書上的四個解法比較，我提出的解法是比較它們更初等，因為我祇引

用相似三角形等定理，而沒有用諸如射影定理(解法一及二) 、四點共圓(解法三)、三角形的垂心

(解法四)等一般中學生不十分熟習的定理。

本文是用波利亞所提倡的解題進路的，用於證明題時常能顯其功架。這個方法是先假設問題已

解，然後由結果開始，進行探討，以便找出一些有啟發性的條件，屬於典型的分析法進路。

 

本文的寫法

一開始就效法波利亞喜用的解題「破案史」式的做法。而不是一般解題書常見的純綜合法式的解

答(見本文正式解題部分及附錄)，常見做法的優點就是足?簡潔，而缺點因為要遷就簡潔這個條

件，便犧牲了當中的真正有益於讀者的解題思路歷程，看不見與答案同樣精彩的部分，是十分可

惜的。所以，本文十分著重的是解題的重要思路和歷程。

 

題目

從等腰三角形ABC底邊AC的中點M作BC的垂線MH，點P是MH的中點。

證明：AH^BP       (1962年前蘇聯數學競賽題)

 

破案史

先對本題略作分析，要證明BP的AH互相垂直，得看一看題目給出的題設條件(例如等腰三角形、兩個中點的位置...) 怎樣與證明部分「拉上」關係，不難發覺其關係是十分疏離的，更好像沒有關係似的。編者認為這正是本題的魅力所在。

以下是本題得以破解的思路歷程：

1)   看到等腰三角形及其中點M，自然想到(或稱情不自禁)：連BM， 這是本題解法的唯一一條外加的輔助線，因BP與AH祇能算是題目指定的輔助線。

2)    很自然，考慮一下題目的條件，可以推出甚麼可能有用的東      ?更多的條件。

3)   因為D ABC是等腰，M是中點，所以推出BM ^AC  

                                         (綜合法?由因導果)

4)      假設問題已證(已解)，即AH^BP，

       那麼?ATB = 90^o        (分析法?執果索因)

5)     綜合3) 和4)，好像是有一對相似三角形

(DAYM ~ DBYT ?)出現似的。       (數學猜想)

6)   看一看圖中的Y點，發現?AYM = ?BYT (對頂角相等) 。

7)   綜合5)和6) ，可推論出，若要證明AH^BP，

先要證?ATB =90^o，若要證?ATB = 90^o，

需證DAYM ~ DBYT，由於已有「一組對頂角相等」

這個條件，我們祇需找出另外一組角相等就足?了，

因為AA就是AAA。                              (分析法)

8)   由於?ATB = ?AMB = 90^o是待證條件，所以這不能成為本題的上

溯的條件，這個上溯條件應是另一組等角關係的證明，

即要證? MAH = ?MBP            

(此處必須小心處理，否則會變成循環論證，因而徒勞無功。這也是同時用分析綜合法容易出問題的地方，就是較易引人走入歧路。)

9)    續用分析法，要證? MAH = ?MBP，需找另一組相似三角形?尋出路，故此要證 DCAH ~ DMBP(這不是瞎猜的，且看以下第十條)。    (分析法)  

10)    在DBMC中，?BMC =?BMP + ?HMC = 90^o ，又?C+ ?HMC = 90^o，所以，?BMP =?C                  (綜合法)

11)  DCAH ~ DMBP的證明有了一點眉目，是時候檢討一下現時的情況，好像有些已知條件「受到冷落」似的，就是那些有關中點關係的條件，尤其是P點。

12)    所以，以下的推證雖像分析法，其實是分析綜合法並用，因為在「分析」時。是同時照顧到題目給定的條件的(P是MH的中點) 。

13)    要證DCAH ~ DMBP，需證BM：MP = AC：CH，

因一組夾角相等(?BMP =?C)加上一組夾邊成比例，

就是相似三角形成立的其中一個證明條件。   (分析法)

14)         

                                            

15)         在DBMC中，不難發現D BMH ~ DMCH (AAA)  (綜合法)

16)         第14和第15項匯通了。分析綜合法的運用成功了，

不禁令我想起英法隧道工程，也是從英法

兩頭一起進行施工的方法建成的。

 

正式解題部分

以下是全用綜合法完成的部分：

1)        在等腰三角形ABC中，M是底邊AC的中點，由對稱關係，BM^AC。

2)        由MH^BC， ?MHC = ?MHB =90^o

3)        由 ?BMH + ?HMC = ?HMC + ?C = 90^o ，所以，?BMH = ?C。

4)        由2) 和 3) ，可推出 D BMH ~ DMCH  (AAA)

因為在兩三角形中，若有兩組角相等，第三組角必等。

 

附錄一

原書的解法二

 

 

附錄二

原書的解法四(巧妙解法)

 

參考書目：

张卫兵编(1996) 《初中数学竞赛一题多解》湖北教育出版社

王屏山  傅学顺  编着(1985)《数学思维能力的训练》   广东人民出版社

波利亞(1962) 《數學發現》 臺灣：九章出版社(1995)

 

Reference:

Durell, V. Clement(1965)

           A New Geometry for schools  London: G. Bell and Sons.

 

 

[1] 張衛兵編 《初中數學競賽一題多解》湖北教育出版社1996 頁273~277

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[2] AA等同AAA，即表示兩三角形有等角關係，因為兩個三角形，若有兩組角分別相等，第三組角亦必然相等。